0108

109

§ 2. Granica funkcji

56. Przykłady. 1) Uogólniając przykłady 1) i 2) z ustępu 32, zbadamy zachowanie się wielomianu p(x)=a₀x^k+a₁x'^l~^l + ...+aic-_ix + a_k,

a następnie ilorazu dwóch takich wielomianów

p(x) _a₀x^lc+ai x‘^_1 + ...+a*_i x + a_t q(x) b₀\*+biX^,~¹ + ...+b_l-iX+b,

gdy x->±oo.

Przez przekształcenie

p(x)=x^k (^ao+~+'" + ~śr)

łatwo ustalić, że

lim pU) =±oo    (co — co) ,

X-* ± 00

przy czym znak granicy dla k parzystego jest określony przez znak a₀, a dla k nieparzystego zależy jeszcze od znaku x.

2) Analogicznie znajdujemy, że

	±oo	dla	k>l
.. p(x) lim --—	a0	dla	k — l
	bo 0	dla	k<l

Znak granicy (w pierwszym przypadku) ustala się według znaków a₀ i b₀, a także (przy k—l nieparzystym) według znaku x.

3) Udowodnimy dla dowolnego wymiernego wykładnika /•(*) wzór

(l+*)^r-l

--=r

x

lim

*-.0

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną : r=n. Ze wzoru Newtona wynika, że

n(n—l) ,

x² + ...+x"

, nxĄ-(1+*)"-! 1-2

n(n — 1)    ,

— it~\—-——— x +... +x

ponieważ przy x->0 wszystkie wyrazy w sumie poza pierwszym dążą do 0, to mamy istotnie

lim--—n.

x->0 x

Niech teraz r=\jm (gdzie m jest liczbą naturalną); rozważmy wyrażenie

yr+i-i

X

Niech

V¹+^Je_ 1=P, skąd x=(l+y)”—1 .

Ponieważ (przy |x|<l) jest

1—|x|<^/l+x<l + |x| ,

C¹) Poniżej [77, 5) b)J uogólnimy ten wzór na przypadek dowolnego wykładnika rzeczywistego.