img431 (2)

Opisane wyżej przykłady prowadzą nas do pojęcia bardzo podobnego do pojęcia granicy funkcji w punkcie. Różnica polega tu tylko na tym, że wyrazy ciągu (x_n) należą bądź tylko do lewostronnego, bądź tylko do prawostronnego sąsiedztwa punktu x₀. Przyjmijmy więc następującą definicję.

DEFINICJA 5.

1. Niech funkcja / będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie S₊(x₀) punktu x₀. Granicą prawostronną funkcji / w punkcie x₀ jest liczba g - co zapisujemy lim f{x_n) = g - wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x„), którego wyrazy x_n e S₊(x₀) oraz lim x_n = x₀, prawdziwa jest rów-

n—>oo

ność lim f(x_n) = q.

Zapis symboliczny:

dcf. .

J|nj_o+/M = 9 <=> A [(x„ e S₊(x₀) A₍lim_>x_n = x₀) =>lim/(x_n) = g]. ¹

£apl* symboliczny:

def. .    .    .

lim f(x)    = go A [(x„    e S (x₀)    a lim    x_n = x₀) => lim f(x_n)    - g]■

k u₀    (x„) ¹' ⁿ '    n-*oo    n->cc

W obu przypadkach dopuszczamy możliwość, że g = +<x> lub g = -<».

(>i /ywiście prawdziwe jest następujące twierdzenie.

IIRDZENIE 6.

ch funkcja / będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀. lnica funkcji / w punkcie x₀ istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy tnleją granice: lewostronna i prawostronna tej funkcji w tym punkcie, i grani-te są równe g\

lim f(x) = g <=> [ lim f(x) = lim f(x)= g ].

X->X„    x->x₀+    x—>X₀'

PR/YKtAD 11.

/najdźmy granice jednostronne funkcji / w punkcie x₀ i zbadajmy, czy istnieje granica tej funkcji w tym punkcie, jeżeli:

•0 / (x) = |Yj. X0 = 0;
f 2x - 5	dla x < 2,
b)/(x) = | x^1 - 5x + 6	dla x > 2, ^X°
l x - 2
	J-x, dlax<0,
Ad a) Zauważmy, że /(x)	1 x, dla x > 0.

Zatem

lim /(x) - lim (-x) = 0

x-*o-    x->0^{_ v}

oraz

lim ,/(x) = lim (x) - O.

x-+o+^J v '    x->0+^v

Granice jednostronne w punkcie x₀ - 0 istnieją, obie są równe 0, więc istnieje

też lim f(x) i

x->cr ^v '

lim_A/(x) = 0.

n->co

1

Niech funkcja / będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie S_(x₀) punktu x₀. Granicą lewostronną funkcji / w punkcie x₀ jest liczba g - co zapisujemy lim f(x_n) - g - wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x„), którego wyrazy x_n e S (x₀) oraz lim x_n = x₀, prawdziwa jest równość

lim/(x„) = ₉.