036 8

*5.9. Funkcja pochodna    Przykład2

Oblicz pc .; _n

W wypadku niektórych funkcji można wykazać, żc mają one pochodną w każ-    f'(x) = ⁹

dym punkcie dziedziny. Takie funkcje nazywamy różniczkowalnymi.

Przykład 1

Wykaż, że funkcja f(x) = x² ma pochodną w dowolnym punkcie Xq E R.

Obliczamy granicę ilorazu różnicowego:

f(x)-f(x 0)    X²—Xq    (x-x₀)(x+x₀)

lim - = hm -- = hm - =

Ćwiczenie 2

Oblicz poch a) f(x) =

X—>Xq

X — Xq

^ Xq X Xę]

x—*xa

X — Xq

= lim (x + Xo) = 2xq

X—>Xo

Zatem dla, dowolnego Xq E R pochodna funkcji f jest równa f'(xę>) — 2xq. Marny więc dwie funkcje - funkcję /: R —» R, daną wzorem f{x) = x², oraz funkcję f: R —> R. daną wzorem f(x) — 2x.

DEFINICJA__

Jeśli funkcja / ma pochodną w każdym punkcie x pewnego zbioru (będącego przedziałem otwartym lub sumą przedziałów otwartych), to w tym zbiorze określona jest funkcja y = f'{x), zwana funkcją pochodną funkcji / lub krótko pochodną funkcji /.

Ćwiczenie 1

Wykaż, żc:

aj funkcja stała f(xj = c ma w każdym punkcie x₀ €R pochodną równą d b) funkcja f(x) = x ma w każdym punkcie xq E R pochodną równą 1.

Wzory na pochodne zwykle zapisywane są krótko:

(c)' = 0, gdzie c - stała (x^2)' = 2x	--■ ^ = dla x / 0
(x)‘ = 1 (z^3)' = 3rc^2	{Vx)' = ^ dla x > 0
Uwaga. Wzory: (x)' = 1, (x^2)' = 2x, (x^3)' = 3cc^2, przypadkami podanego niżej wzoru.	(y)^7 = — ys są szczególnymi
Dla dowolnej różnej od zera liczby całkowitej n	(x^nY = rur^n_1 dla x 0.

288    5. Rachunek różniczkowy

Ćwiczenie 3

Rozwiąż rów;, n

a) f(x) = x~

Równanie st\ c

Przykład 3

Wyznacz róv:_ -w punkcie 2. -

Równanie sty zaliczamy jej wsp

/'(* = -

Styczna ma w; wartość b. pc równania stycz:-maliśmy równam- ~

OFFtMCfA_

Jeśli funkcja funkcji w pum:

\--------

Jeśli Po(x₀.f ści, a punkt P . tern stycznej. *. śnie tg a = f '[x_

f'U: =}

Stąd y — f(xo = *