0166

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

167

funkcji logarytmicznej (dla a> 1) jest odwrotnie proporcjonalna do wartości argumentu i pozostając dodatnia, dąży do zera przy nieograniczonym wzrastaniu argumentu, zgadza się z tym, cośmy na ten temat mówili dawniej [65].

8° Funkcje trygonometryczne. Niech y=sin x; wtedy

Ay

Ax

sin(x+dx) —sinx sin^zfo

cos (x+iAx).

Ax    $Ax

Korzystając z ciągłości funkcji cos x i ze znanej [54, (8)] granicy

sina

lim-=1

otrzymujemy

Ay    .

y'~ lim —=cosx ( ) .

ax~*qAx

Analogicznie otrzymamy, że

jeśli y = cos x , to y = — sin x .

W przypadku gdy y=tg x, mamy

sin (x+dx) sin x Ay tg(x-Mx)-tgx cos(x+dx) cosx Ax    Ax    Ax

sin (x+Ax) cos x—cos (x+d x) sin x Axcos x cos (x+Ax)

Stąd, jak i wyżej,

Analogicznie,

jeśli

sindx    1

Ax cosxcos(x+Ax)

,    Jy l ₂

Ax-*0 Ax cos x

¹ 2

y=ctgx ,    to y—--5— = — cosec x.

sin x

94. Pochodna funkcji odwrotnej. Zanim zajmiemy się obliczeniem pochodnych funkcji kołowych udowodnimy następujące twierdzenie ogólne.

Twierdzenie. Niech

1) funkcja f (x) spełnia założenia twierdzenia z ustępu 83 o istnieniu funkcji odwrotnej.

(') Zwróćmy uwagę na to, że wzór ten jest dlatego prosty, gdyż kąt mierzymy w radianach. Gdybyśmy mierzyli x na przykład w stopniach, to granica stosunku sinusa do kąta nie byłaby równa jedności,

u    n

lecz jak łatwo dostrzec —-1 mielibyśmy wtedy (sin x)'=— cos x.