192(1)

\e ^a I, jeżeli w każdym punkcie łuku jego gęstość liniowa

2)y = -_i[e°

jest odwrotnie proporcjonalna do rzędnej tego punktu; Xo = 0, x_A = a.

895.    Znaleźć środek ciężkości jednorodnego luku AB linii śrubowej x = cos/, y = sinf, z = mt\ t_A = 0, t_B = 2rr.

2 2 2.

896.    Znaleźć środek ciężkości luku NP asteroidy .x³-f-^y³ — a' , jeżeli w każdym punkcie luku jego gęstość liniowa jest wprost proporcjonalna do odciętej punktu; N(0, a), P(a, 0).

897.    Obliczyć pracę pola sił przy przemieszczaniu punktu o masie m po obwodzie kwadratu, utworzonego przez proste x = ±a, y — +a, jeżeli w każdym punkcie (.v, y) natężenie pola (czyli sił.^ działająca na jednostkę masy) jest dane wyrażeniem E = (x—y)i+xj.

898.    Punkt o masie m przemieszcza się w polu sił po łuku AB krzywej f(x, y) = 0. Jaką pracę wykona pole sił, jeżeli w każdym jego punkcie (x, y) siła działająca na jednostkę masy jest skierowana ku początkowa układu i co do modułu jest równa odległości punktu od początku układu?

§ 10. Wyznaczanie funkcji, gdy jest dana jej różniczka zupełna

Jeśli znana jest różniczka zupełna pewnej funkcji dwóch zmiennych du = Pdx Qdy, gdzie P\. = Q'_x, to funkcję u(x,y) można wyznaczyć przez scałkowanie du po dowolnej linii, łączącej dowolny ustalony punkt A(xo, jo) i zmienny punkt M(x, y)

(*)

u = | P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C

AM

Zwykle jako linię całkowania AM obiera się linię łamaną AN_tM albo AN₂M, której odcinki są równoległe do osi współrzędnych (rys. 195), przy

^2 (*0/ y) M(x,y)

i------ ■

i i

i-

Mxo,<Jo) N,(x,y₀)

Rys. 195

takim bowiem wyborze linii całkowania zamiana całki krzywoliniowej na całki oznaczone odbywa się wyjątkowo prosto, a wzór (*) przyjmuje postać

jP(x,y₀)dx+ j Q(x₉y)dy+C    (1)

m= ) du-\-C —

AM

<o    yo

x    y

§P(x,y)dxĄ- j. Q(x₀,y)dy+Ć    (2)

*0

W wielu przypadkach funkcję u, gdy znana jest jej różniczka zupełna, można znaleźć inaczej.

Istotnie, skoro różniczka zupełna jest sumą różniczek cząstkowych du = d_xu+dyU, gdzie d_xu — Pdx, d_yu = Qdy, to całkując oddzielnie-każdą z nich, znajdziemy dwa wyrażenia na poszukiwanąfunkcję «:

a)    u = f Pdx+<p(y), gdzie y przyjmuje się za stałe

b)    u = J Qdy-'y>(x), gdzie x przyjmuje się za stałe,przy czym p(y) i y(x) są niewiadomymi funkcjami.

Biorąc wszystkie wiadome wyrazy z pierwszego wyrażenia i dopisując do nich brakujące wyrazy, zależne tylko od y, z wyrażenia drugiego, otrzymamy funkcję u.

Łatwo sprawdzić, czy otrzymane rozwiązanie jest prawidłowe. Jeśli funkcja u jest wyznaczona właściwie, to jej różniczka zupełna, obliczona ze wzoru du = u'_xdxĄ-u'_ydy jest tożsamościowo równa danej różniczce zupełnej Pdx^JrQdy.

899. Wykazać, że dane wyrażenie jest różniczką zupełną funkcji u(x, y) oraz wyznaczyć tę funkcję:

1)    (2x—3^+1) dx+ (2—6xy)dy

2)    (e^xy+5) (xdy+ydx)

3)    (1—sin 2x)dy—(3+2y cos 2x)dx

Rozwiązanie: 1) Oznaczmy współczynniki przy różniczkach przez P — 2.v--3y²-f 1 oraz Q = 2—6xy i wyznaczmy P'_y = —6y i Q'_x = = - 6y. Ponieważ P'_y = Q'_x, a funkcje P, Q, P'_y, Q'_x ,są ciągłe, tó dane wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej funkcji u.

Posłużymy się teraz wzorem (1), obierając jako punkt A początek układu współrzędnych, czyli punkt 0(0,0). Mamy

x    y

u= J (2x+l)dx+ J (2 — 6xy)dy+C = x²+x+2y—3xy²+C ó    o

2) Dane wyrażenie różniczkowe piszemy w postaci Pdx^JrQdy i znajduje-^m)/ P'_y \Q'_x. Mamy

y(s^xy—5)dx+x(e^xv+5)dy, P'_y = 5+^(1+xy) = Q'_x

387