0168

169

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

9° Funkcje kołowe (cykłometryczne). Rozpatrzmy funkcję y=arc sin x (— 1 < jc < 1), przy czym — irccycirc. Jest ona funkcją odwrotną względem funkcji x=siny, która dla wskazanych wyżej wartości y ma pochodną dodatnią x^,=cos y. W takim razie istnieje również pochodna y'_x, która równa się według naszego wzoru

'=!=—= ^{1 1} . x'_y cosy V1 — sin² y V1—x²

pierwiastek bierzemy ze znakiem plus, ponieważ cos y>0. Wyłączyliśmy wartości x= ± 1, ponieważ dla odpowiednich wartości y= ±$n pochodna x,=cos y=0.

Funkcja y=arc tg x (—oo < x < + oo) jest odwrotna względem funkcji x=tg y. Według naszego wzoru

, ₌ 1__1 11

x'_r sec² y l+tg²y l+x²

Analogicznie można otrzymać

dla y=arc cos x	wzór	/ =	1	( — 1 < X < 1) ,
			Vl-x^2
dla y=arcctgx	wzór	/ =	1 l + x^2	(— 00<X< + 00)

95. Zestawienie wzorów na pochodne. Zestawimy wszystkie wyprowadzone wzory:

1. y=c,	y'=o,
2. y=x,	/= 1.
3. y=x",	y'=fix'^t~^1
1 y=—, X	y-A. X
y=yjx,	^y=27ź’
4. y=a^x,	y=a^xlna
y=e^x,	y'=e^x,
5. y=log,x,	, log„e y =-, X
y=lnx,	/-i. X

6.    y=sinx,

7.    y=cosx,

y'=cosx, y'<= — sinx,