0170

171

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

lub

(3a)

Ay = y'_xAx + o(Ax).

Uwaga. Dotychczas uważaliśmy, że Ax>0 lub Ax<0, wielkość a nie była określona dla Ax=0. Gdy mówiliśmy, że oc-»0 przy Ax-*0, to jak zwykle przyjmowaliśmy, że zljc dąży do 0 w dowolny sposób, nie przybierając jednak wartości zerowej. Załóżmy teraz, że a=0, gdy Ax=0; wtedy — rzecz jasna — wzór (2) pozostanie w mocy i dla Ax=0. Prócz tego zależność a-»0 przy Ax->0 można pojmować w szerszym sensie niż dawniej, nie wyłączając dla Ax możliwości dążenia do 0, przechodząc między innymi i przez wartości zerowe.

Z udowodnionych wzorów wynika bezpośrednio:

2° Jeśli funkcja y=f(x) ma w punkcie x₀ pochodną skończoną, to funkcja ta jest w tym punkcie ciągła.

Rzeczywiście, z (2a) wynika, że Ax-*0 pociąga za sobą Ay-*0.

97. Najprostsze regały obliczania pochodnych. W poprzednich ustępach obliczaliśmy pochodne funkcji elementarnych. W tym ustępie i w następnym ustalimy kilka prostych reguł, które pozwolą nam obliczać pochodną dowolnej funkcji, utworzonej z funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i superpozycji [51].

I. Niech funkcja u= ę{x) ma w określonym punkcie x pochodną u'. Udowodnimy, te i funkcja y=cu (c=const) ma również pochodną w tym punkcie i obliczymy ją.

Jeśli zmiennej niezależnej x nadamy przyrost Ax, to funkcja u otrzyma przyrost Au, przechodząc od wartości początkowej u do wartości u + Au. Nowa wartość funkcji y będzie równa y+Ay—c(u+Au). Stąd Ay=cAu i

.. 4y    Au

lim —=c lim ——cu . ax-*o Ax Ax-*o Ax

Tak więc pochodna istnieje i równa się

y'=(cu)' = cu'.

Wzór ten wyraża następującą regułę: czynnik stały można wyłączać przed znak pochodnej.

II. Niech funkcje u=tp(x), v=y/(x) mają w określonym punkcie pochodne u', v'. Udowodnimy, że funkcja y=u±v ma również pochodną w tym punkcie i obliczymy ją.

Nadajmy x przyrost Ax; wtedy u, v i y otrzymają odpowiednio przyrosty Au, Av i Ay. Ich nowe wartości u+Au, v + Av i y + Ay związane są wzorem

y+Ay—(u+Au)±(v+Av).

Stąd

Ay = Au±Av,

Ay Au^ Av Ax Ax~~ Ax

oraz

Ay Au    Aii

lim —= lim —± lim — =u ±v , Ax-*0 Ax Ax-*0 Ax Ax~* 0 Ax