0158

159

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

Analogicznie oblicza się prędkość v i w ogólnym przypadku prostoliniowego ruchu punktu. Położenie punktu określa jego odległość s, którą mierzymy od pewnego punktu początkowego O; odległość ta jest przebytą drogą. Czas t liczymy od pewnej chwili początkowej, przy czym punkt niekoniecznie musi się znajdować w tej chwili w O. Będziemy uważali, że ruch jest w zupełności określony, jeśli znamy równanie ruchu s=f(t), z którego możemy określić położenie punktu w dowolnej chwili; w rozpatrzonym przykładzie rolę taką spełniało równanie (1).

Aby określić prędkość v w danej chwili t, należałoby jak i wyżej nadać chwili t przyrost At; przyrostowi temu odpowiada przyrost As drogi s.

Stosunek

Js    M

^At    Rys. 37

wyraża prędkość średnią v_iT w okresie At. Prędkość

rzeczywistą v w chwili t otrzymamy stąd przez przejście do granicy

As

v~ lim v_ir = lim-.

/n->o ji-*o At

Rozpatrzymy poniżej inne ważne zagadnienie prowadzące do podobnej operacji granicznej.

91. Zadanie znalezienia stycznej do krzywej. Niech będzie dana krzywa K (rys. 37), a na niej punkt. M; zajmiemy się ustaleniem samego pojęcia stycznej do krzywej w jej punkcie M.

W kursie szkolnym styczną do okręgu definiujemy jako prostą, która ma z krzywą tylko jeden punkt wspólny. Definicja ta ma jednak charakter szczególny i nie ujawnia istoty rzeczy. Jeśli definicję tę spróbujemy zastosować na przykład do paraboli y = ax² (rys. 38a), to w początku współrzędnych O definicję tę spełniałyby obie osie współrzędnych; tymczasem — co jest prawdopodobnie bezpośrednio jasne dla czytelnika — w rzeczywistości tylko oś x jest styczną do paraboli w punkcie O.

Sformułujemy obecnie ogólną definicję stycznej. Weźmy na krzywej K (rys. 37) oprócz punktu M jeszcze punkt M_l i poprowadźmy sieczną MM_x. Gdy punkt M, będzie się poruszał wzdłuż krzywej, sieczna ta będzie się obracała wokół punktu M.

Styczną do krzywej K w punkcie M nazywamy położenie graniczne MT siecznej MM_V, gdy punkt A/j dąży wzdłuż krzywej do punktu M. Sens tej definicji polega na tym, że ■KMi MT staje się dowolnie mały, jeśli cięciwa MM\ jest dostatecznie mała.

Zastosujmy na przykład tę definicję do paraboli y = ax² w dowolnym jej punkcie M(x,y). Ponieważ styczna przechodzi przez ten punkt, więc aby określić jej położenie, wystarczy znać jeszcze jej współczynnik kątowy. Postawmy sobie za zadanie znaleźć współczynnik kątowy tg a stycznej w punkcie M.