0160

161

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

współczynnik kątowy stycznej znajdujemy w podobny sposób. Przyrostowi Ax odciętej odpowiada przyrost Ay rzędnej, a stosunek

Ay

Ax

wyraża współczynnik kątowy siecznej tg ę. Współczynnik kątowy stycznej otrzymamy stąd przez przejście do granicy przy Ax->Q:

Ay

Ig ot — lim tg tp= lim —.

Ax~*0    Ax-*0 Ax

92. Definicja pochodnej. Porównując operacje, które przeprowadziliśmy przy rozwiązywaniu rozpatrzonych powyżej podstawowych zadań, możemy łatwo dostrzec, że w obu wypadkach — jeśli abstrahować od różnic w interpretacji zmiennych — robiliśmy w istocie jedno i to samo: dzieliliśmy przyrost funkcji przez przyrost zmiennej niezależnej i obliczaliśmy następnie granicę ich stosunku. W ten sposób dochodzimy do podstawowego pojęcia rachunku różniczkowego — do pojęcia pochodnej.

Niech będzie dana funkcja y—f(x) określona w przedziale SC. Wychodząc od pewnej wartości x=x₀ zmiennej niezależnej nadamy jej przyrost Ax>0 lub Ax<0 nie wychodzący poza przedział SC, tak że i nowa wartość x₀ + Ax należy do tego przedziału. Wtedy wartość y=/(x₀) funkcji zostanie zastąpiona nową wartością y+Ay=f(x₀ + Ax), tzn. zmieni się o przyrost

Ay = Af(x₀) =f(x₀ + Ax)-f(x₀).

Granicę, przy Ax dążącym do 0, stosunku przyrostu funkcji Ay do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej Ax:

Ay    f(x₀ + Ax)-f(x₀)

lim —= hm---,

Ax-*oAx ax-*o    Ax

o ile granica ta istnieje, nazywamy pochodną funkcji y=f(x) względem zmiennej niezależnej x, dla danej jej wartości lub w danym punkcie x=x₀.

W ten sposób pochodna dla danej wartości x=x₀ — jeśli istnieje — jest określoną liczbą(*); jeśli ta pochodna istnieje w całym przedziale SC, tzn. dla każdej wartości jc z tego przedziału, to jest ona funkcją x.

Korzystając z dopiero co wprowadzonego pojęcia, możemy to, co powiedzieliśmy w ustępie 90 o prędkości poruszającego się punktu, zreasumować tak:

Prędkość v jest pochodną przebytej drogi s względem czasu t.

Jeśli słowo „prędkość” pojmować w sensie ogólniejszym, to można by pochodną traktować zawsze jako pewną prędkość. Mając mianowicie funkcję y zmiennej niezależnej x można pytać o prędkość zmiany zmiennej y w porównaniu ze zmienną x (dla danej wartości zmiennej x).

0) Tymczasem poprzestajemy na przypadku, gdy granica ta jest skończona [101],

l i G. M. Fichtenholz