82306

Przykład 4.22 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę dc l'Hospitala?

a) lim

x—oc

x + cos2x X — C08X

b) lim

x~*0

2 • 1 x^Ł smj

sinx

Inne typy nieoznaczoność: 0 • oc, oc - oc, 0°, oo°, 1°°

Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu /(x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to mówimy o nieoznaczoności (0 • oo). Jeśli w wyrażeniu f(x) - g(x) obydwie funkcje dążą do -f-oo lub -oo, to nieoznaczoność jest typu (oc - oo). W wyrażeniach postaci f(x)⁹^ występują nieoznaczoności typu 0° , oc° , 1°°.

Uwaga 4.7 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f(x)⁹^, f(x) > 0 należy skorzystać z tożsamości

Przykład 4.23 Znaleźć granice:

1.    lim x lnx

x—0+

2.

3. lim X¹

x—*0⁺

4-    lim (ctgx)^x

x—0+

⁵-    j™,(i^arct«®)'

4.5 Ekstrema funkcji

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu xo . Definicja 4.10

•    Funkcja f ma w punkcie xo minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu (xo — <S,xo + J). S > 0, że dla każdego x € (xo — <$,xo,xo + ó)

f(*o) < f(x)    (3)

•    Funkcja f ma w punkcie xo maksinnun lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu (xo - <5,xo + <5), <5 > 0, że dla każdego x 6 (xo - 6,xq,xo + $)

/(aro) > /(ar)    (4)

Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.

Jeżeli niemumości są ostre, to eksterna lokalne nazywamy właściwymi.

27