3582320537

Wykład 9

Zadanie Zbadać, czy forma:

g{xi, X2,X3) — [x\,X2,X3]	12 3' 2 5 2		' Xi ' X2
	3 2 0		X*

jest dodatnio określona.

Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc wyznaczniki:

Gi = l

G’2 — g₃ —

1 2 2 5 12 3

2    5 2

3    2 0

= 1 >0

= -25 < 0

To oznacza, że ta forma nie jest dodatnio określona. Rzeczywiście g( 1,1, —2) — -10 <0.

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni Kⁿ, wtedy g może być zapisane w postaci:

n    n

g(xi, X2i..., x_n) gu^i 2 yy g^Si-zj

i=l    i=l^=l,i<j

w przedstawieniu tym mogą występować elementy po XiXj. Zadanie sprowadzania do postaci kanonicznej polega więc na "pozbywaniu się” tych elementów. Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych yi,V2, • • ■ ,Vn zależnych liniowo od xi,X2, ■ ■ ■ ,x_n, dla których forma kwadratowa g ma przedstawienie:

g{yi, • • •, yn) = aiyl + a₂y² 4-... 4- a_ny²n

Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy dwie podstawowe: metodę Lagrange’a i metodę Jacobiego.

1