mat sgh zestaw a czerwiec 2008

ZESTAW

A

Zadanie 1. Dana jest forma kwadratowa

Q( x_ux₂, x₃) = 3x,² + 2x₂

a)    Wyznaczyć macierz Ag formy kwadratowej , formy.

b)    Określić formę kwadratową ^(y,, y₂, y₃) określoność formy R.

I 1 r—I 1 1 r—i 1 p 1 . . . . -

+

2x_xx₂

- 4x₂x₃

x₃) oraz zbadać określoność tej

o macierzy odwrotnej do Ag i zbadać

Zadanie 2. Dany jest układ równań

( *1	+ x3	- 2x4	= a
<	x2	~ *4	= fi	m
-2x, L ^	+ x2 - 3x3	+ 5*4	= r

a)    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego układu równań, jeśli 1, fi -2,

b)    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego układu równań, jeśli =    =    = 0.

----    -------1 ■ • ——-1 1 T* 1 ~ I i i 1 I , . ■ ¹ ■ ¹

T

Zadanie 3. Funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych/(x, y) określona jest wzorem

f(x,y) = ln l-x²-y²

a) Wyznaczyć (narysować) dziedzinę funkcji/oraz warstwicę zawierającą punkt

1,

Te

b) Wykazać, że w każdym punkcie wewnętrznym koła o środku (0, 0) i promieniu 1 zachodzi równość

£<*■ *£<*• >)-»

n—I—i—l—i—r--

t—r

I I I-1-r

!?•• • t,-

i*?'-'.

Zadanie 4. Wyznaczyć najmniejszą i

f{x,y)**e*^y

na zbiorze A =

(x, y)eSK²:

~x² + 3K

Zadanie 5. Dany jest układ równań z niewiadomymi x_x,x₂,x₃:

' 4xj	+ x2 + (a-l)x3	= 4
(3 - a)xt		= 3
2x,	- 3x2 + x3	= 2

Dla jakich a e 91 układ równań ma rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania w przypadku, gdy istnieją.