82303

Przykład 4.15 Zbadać czy można zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji:

•    f{x) = x$, x e< -i, i >

•    g(x) = cosx, xG<-§,§

•    h{x) = \x - 1|³ . x G< 0,2 >

Twierdzenie 4.7 (Twierdzenie Lagrange’a)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale {a.b) i różniczkowalna wewnątrz (a.b), to istnieje punkt c G {a.b) taki, że f(b) — f(a) = f'(ć) • {b - a).

Dowód:

Rozważamy funkcję pomocniczą F(x) = (b — a) • f(x) — (f{b) — f(a)) • x.

Funkcja F spełnia założenia twierdzenia Rolle'a.

Zatem istnieje punkt c G (a. 6) taki, że

F*(c) = (6 — a) • f{c) — (f{b) — f(a)) = O

Uwaga 4.4 Jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a. to istnieje taki punkt (c,f(c)) na wykresie tej funkcji, w którym styczna jest równoległa do siecznej, to znaczy prostej przechodzącej przez punkty (a.f(a)) i (b.f(b)).

Przykład 4.16 Znaleźć punkty na wykresie podanych funkcji, w których styczna jest równoległa do siecznej.

a) f(x) = x² , x €< —1,2 > b)g{x) = —^—. xG<0.3>

1 4- x

c)h{x) = arccosx, x G< —1,1 >

Twierdzenie 4.8 (Twierdzenie o wartości średniej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale {a.b) i różniczkowalna wewnątrz {a.b), to dla dowolnych punktów xq,x G (a. b) takich, że xq ^ x istnieje liczba 0 G (0,1) taka. że

f{x) = f{x₀) + f{x₀ + 0{x - x₀)) • (x - x₀)

Dowód:

Stosując twierdzenie Lagrange'a Ą.7 dla przedziału < x<j,x > , gdy xq < x lub < x, xq > , gdy x < xq otrzymujemy tezę twierdzenia z 0 =

Przykład 4.17 Korzystając z powyższego twierdzenia uzasadnić podane nierówności:

1.    (Vx >0) yfj < ln(l + x) < x

2.    (Vx G 1t) e^x > 1 + x

3.    (Vx,y G< — 1,1 >) | arcsinx — arcsiny| > |x - y|

Wniosek 4.2

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a,b) i różniczkowalna wewnątrz (a. 6) oraz (Vx € {a.b)) f{x) = 0 .to f jest funkcją stalą na < a.b >.

24