206

410 XX. Zastosowania geometryczne całek

Zadanie 20.149. Pręt w kształcie ściętego stożka jest obciążony siłą P. Promień

wy górnej wynosi R, dolnej r (R>r), wysokość stożka h. Obliczyć wydłużenie Ax

P°dsta.

pod wpływem działania siły P stosując wzór wynikający z prawa Hooke’a (por. wzór

Pręta

zad. 20.148).

U),

Rozwiązanie. Promień r_x przekroju pręta w odległości x od dolnej podstawy wy_Zna czarny z proporcji

R-r r_x-r    R — r

—— =-skąd r_x=——x+r.

h x    h

, (R — r X

Pole przekroju wynosi S_x = nr_x = n I —— x + r J , zatem

Ax

r p    p

—    -dx =—

J ES_X    nE

dx

R-r X

—— .v + r

R—r    R—r

Stosując podstawienie —■—x + r = z, skąd —-—dx = dz , obliczamy całkę nieoznaczoną

dx    h j* dz h / l\ — h    1

x + r

— r X    z² R-ł"V ^z / R — r R — r

Stąd

P -h

Ax — —

■kE R-r

R-r

h

x + r

_P -h [ 1    l\_

7tE R-r\R r )

Ph

nErR

Zada*te 20.150. Skuteczną wartość natężenia prądu elektrycznego zmiennego określa wzór gdzie T jest okresem zmian. Obliczyć skuteczną wartość natężenia prądu sinusoidalni⁰

271

zmiennego i = J_m sin — t.

Rozwiązanie. Mamy

J-/i | i    Si

2n

sin — tdt,

Ob liczmy całkę nieoznaczoną

| sin²    J(l-cos-^-^* = |^—^sin y*)+C.

^tem otrzymujemy J--

-^J- Jif ["^^si" f '1 -^J- Jk {^T~-k ⁵ⁱ“ ⁴ⁿ)-^^J- ■

Zadanie 20.151. Do obwodu elektrycznego zawierającego oporność czynną i indukcyj-ność przyłożone jest napięcie sinusoidalnie zmienne

2rt

U ⁼ U_m sin — t.

Sinusoida prądu płynącego w tym obwodzie przesunięta jest względem sinusoidy napięcia o kąt <p, a więc

i = J_m sin ( — t+<p

'2n

Średnią moc prądu zwaną mocą czynną określa wzór

iT

2

P = — T

Uidt,

gdzie T jest okresem zmian. Obliczyć średnią moc prądu w danym obwodzie. Rozwiązanie. Mamy

iT    iT

2 f    2 r    2n (2n    \ ,

p=Y J ^Uidt=T) ^UnJm sin Y^tsm\T^t+7 ^dt ‘

0    O

Stosując wzór trygonometryczny sin a sin /?=£ (cos (a—/?)—cos (a+/?)) możemy napisać

_Pju_mj_m*r i

Jłt

4 71

cos <p- cos ( — t + i

dt =

,r    t

tcoscp--

L    ^4jr

47T

sin I — t + <p ^

iT

--j.— I — cos !sin (2n+ ?>) + -- sm <p 1=^ U_mJ_mcos <p

Zadanie 20.152. Ilość ciepła potrzebna do ogrzania ciała o masie m i cieple właściwym c temperatury t_t do t₂ wyraża się wzorem

q = m J cdt.