410 XX. Zastosowania geometryczne całek
Zadanie 20.149. Pręt w kształcie ściętego stożka jest obciążony siłą P. Promień
wy górnej wynosi R, dolnej r (R>r), wysokość stożka h. Obliczyć wydłużenie Ax
P°dsta.
pod wpływem działania siły P stosując wzór wynikający z prawa Hooke’a (por. wzór
Pręta
zad. 20.148).
Rozwiązanie. Promień rx przekroju pręta w odległości x od dolnej podstawy wyZna czarny z proporcji
R-r rx-r R — r
—— =-skąd rx=——x+r.
h x h
, (R — r X
Pole przekroju wynosi Sx = nrx = n I —— x + r J , zatem
Ax
r p p
— -dx =—
J ESX nE
dx
R-r X
—— .v + r
R—r R—r
Stosując podstawienie —■—x + r = z, skąd —-—dx = dz , obliczamy całkę nieoznaczoną
dx h j* dz h / l\ — h 1
x + r
— r X z2 R-ł"V z / R — r R — r
Stąd
P -h
Ax — —
■kE R-r
R-r
h
x + r
_P -h [ 1 l\_
7tE R-r\R r )
Ph
nErR
Zada*te 20.150. Skuteczną wartość natężenia prądu elektrycznego zmiennego określa wzór gdzie T jest okresem zmian. Obliczyć skuteczną wartość natężenia prądu sinusoidalni0
271
zmiennego i = Jm sin — t.
Rozwiązanie. Mamy
2n
sin — tdt,
Ob liczmy całkę nieoznaczoną
| sin2 J(l-cos-^-^* = |^—^sin y*)+C.
^tem otrzymujemy J--
Zadanie 20.151. Do obwodu elektrycznego zawierającego oporność czynną i indukcyj-ność przyłożone jest napięcie sinusoidalnie zmienne
2rt
U = Um sin — t.
Sinusoida prądu płynącego w tym obwodzie przesunięta jest względem sinusoidy napięcia o kąt <p, a więc
i = Jm sin ( — t+<p
'2n
Średnią moc prądu zwaną mocą czynną określa wzór
iT
2
P = — T
Uidt,
gdzie T jest okresem zmian. Obliczyć średnią moc prądu w danym obwodzie. Rozwiązanie. Mamy
2 f 2 r 2n (2n \ ,
p=Y J Uidt=T) UnJm sin Ytsm\Tt+7 dt ‘
Stosując wzór trygonometryczny sin a sin /?=£ (cos (a—/?)—cos (a+/?)) możemy napisać
Pjumjm*r i
4 71
cos <p- cos ( — t + i
dt =
47T
sin I — t + <p ^
iT
--j.— I — cos !sin (2n+ ?>) + -- sm <p 1=^ UmJmcos <p
Zadanie 20.152. Ilość ciepła potrzebna do ogrzania ciała o masie m i cieple właściwym c temperatury tt do t2 wyraża się wzorem
q = m J cdt.