202

402 XX. Zastosowania geometryczne całek

(por. wzór (17.2.6)). Wyznaczamy współrzędne środka ciężkości

„_\a²b 4a    | ab² 4b

^ \n ab 3n ’    ^ ab 3n

Sposób II (z zastosowaniem reguły Guldina). Pole ćwiartki elipsy wynosi (por. zad. 20.1, str. 382). Objętość bryły powstałej przez obrót ćwiartki elipsy dookol osi Ox równa się §nab² (por. zad. 20.65, str. 393). Na podstawie reguły Guldina mamy

₂    2    ,    46

■jnab =±nab-2nrj, skąd //= —•

3n

Dla znalezienia odciętej środka ciężkości ćwiartki elipsy stosujemy obrót dookoła osi Oy i mamy

Ąna²b = jnab-2n£,    skąd ć = —

3tc

Zadanie 20.101. Wyznaczyć środek ciężkości bryły powstałej z obrotu dookoła osi 0x paraboli y²-2px, gdzie p>0, a odcięta x przebiega przedział 0^x<a.

Rozwiązanie. Mamy

J xy²dx J x²dx , ₃ £=7-=7—=o=!«. "=°-

J y²dx J xdx o    o

Zadania

20.102.    Obliczyć moment bezwładności prostokąta o bokach a i b względem boku a, przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.

20.103.    Obliczyć moment bezwładności względem osi obrotu walca obrotowego o promieniu r i wysokości h, przyjmując stałą gęstość przestrzenną S.

20.104.    Obliczyć moment bezwładności powierzchni trójkąta o podstawie a i wysokości h względem podstawy, przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.

Wskazówka. Wystarczy obliczyć moment bezwładności trójkąta prostokątnego

0    przyprostokątnych a i h.

20.105.    Obliczyć moment bezwładności stożka obrotowego o promieniu podstawy ^r

1    wysokości /z względem osi obrotu, przyjmując stałą gęstość przestrzenną 3.

20.106.    Obliczyć moment bezwładności okręgu o promieniu r względem średnicy okręgu, przyjmując stałą gęstość liniową A.

20.107.    Obliczyć moment bezwładności koła o promieniu r względem średnicy kot^a' przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.

20.108.    Obliczyć moment bezwładności kuli o promieniu r względem średnicy kul'-przyjmując stałą gęstość przestrzenną <5.

20.109. Obliczyć moment bezwładności względem osi Ox bryły otrzymanej z obrotu

20.110. Obliczyć moment bezwładności względem osi Ox linii łańcuchowej y=\a(e^x,aĄ-_+f'^5r,a), a>0, — a<.v<u, przyjmując stałą gęstość liniową

20.111* Obliczyć moment statyczny prostokąta o podstawie a i wysokości h względem podstawy, przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.

20.112.    Obliczyć momenty statyczne trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych , j b względem boków trójkąta, przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.

20.113.    Obliczyć moment statyczny względem osi Ox parabolicznego odcinka ogra

niczonego parabolą y=A(l—a>0, h>0, i osią Ox, przyjmując stałą gęstość powierzchniową p.    ' ^y

20.114.    Obliczyć moment statyczny względem osi Ox i Oy parabolicznego odcinka ograniczonego parabolą y - \jlpx, osią Ox i prostą x=x₀.

20.115.    Obliczyć moment statyczny względem osi Ox i Oy pola ograniczonego krzywą 2tt

y=a cos — x, osią Ox i Oy. b

20.116.    Obliczyć moment statyczny względem osi Ox łuku paraboli y=yj'lpx, 0^x<2.

20.117.    Obliczyć moment statyczny w-zględem osi Ox i Oy pola ograniczonego krzywą x=t²-t, y = t³ + t² i osią Ox.

20.118.    Obliczyć moment statyczny łuku tangensoidy w przedziale <0, ‘-7t>.

20.119.    Znaleźć współrzędne środka ciężkości łuku półokręgu y = \jr² —x², — r< v<r.

20.120.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości półkola ograniczonego osią odciętych i półokręgiem y = \/r² —x², —

20.121.    Wyznaczyć środek ciężkości półkuli powstałej z obrotu ćwiartki koła y= -'fr² —x², 0<jc^r dookoła osi Ox.

20.122.    Wyznaczyć środek ciężkości stożka obrotowego o promieniu podstawy r i wysokości h.

20.123.    Wyznaczyć środek ciężkości części paraboloidy obrotowej odciętej płaszczyzną prostopadłą do osi paraboloidy, mając dany promień r podstawy bryły oraz wysokość bryły h.

Wskazówka. Bryła powstaje z obrotu dookoła osi Ox paraboli

20.124. Wyznaczyć środek ciężkości łuku linii łańcuchowej y = %a(e^x/a + e~^x/a), a>0, '^a^x^a.

20.125. Wyznaczyć środek ciężkości obszaru ograniczonego cykloidą x = a(t — sin t), ■^aO — cos /), a>0, Q^t^2n, i osią Ox.