198

394 XX. Zastosowania geometryczne całek

otrzymujemy

S = 2nb | Va²(l —u²) + b²u² du =2nb J \/a²-(a² - b²) u² du .

-1 -1

1° Jeżeli a-b, to mamy S=4nu².

s/^b¹

2° Jeżeli a>b, to podstawiając-= e, gdzie ejest mimośrodem elipsy, otrzyj

jemy

S = 2nab J V1 —e²u² du .

Podstawiamy eu=v, a następnie stosujemy wzór (17.2.6) (str. 336):

S = 2nab(— Vl — e²u² H—arcsin(£u)) =

V 2    2e    /-i

— 2 nab

.    ,    , . b a    . \la² — b²

— arcsins =27tao —I- .... ^arcsin-

.u

3° Jeżeli a<b, to podstawiając \lb²—a² = c otrzymujemy 1

S = 2nb | 'Ja² + c²u² du=2nb^^sja² +c²u² +^-ln(cu +\Ja² -t-c²u²)j    =

a², \/a²+c²+c

= 2nb^Ja

²+c²+— ln

-^c Ja²+c²

a²    b + s/b² — a²

H--_rIn-,

2\J b² —a² b-y/b³-a²

a²    b + \/b²-a²

= 2nb[ b-i—_r- ■ ln-—

JV^7² a

Zadania

20.66.    Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót dookoła osi Ox linii xy² = l oraz płasźczyznami x = a i x — b, gdzie b>a>0.

20.67.    Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox hiperbol' y= l[x, 1< x < + oo, wraz z rzędną w punkcie x= 1.

20.68.    Obliczyć objętość oraz pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox sinusoidy y = sinx, 0<x^Jt.

20.69.    Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y²(x-d)

= x(x —3), 0<x<3.

20.70.    Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła & Ox hiperboli x² —y² = a², a>0, a^x^a J2, wraz z rzędną końcową w punkcie x~^a 'J

20.71.    Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi 0x paraboli 3y — x³=0, 0<x< 1, wraz z rzędną końcową w punkcie x= 1.

20.72.    Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu łuku

x

li_nii łańcuchowej y=ucosh-, a>0, -a^x^a, wraz z rzędnymi końcowymi w punktach x=-a i x=a.

20.73. Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dooKoła osi Ox krzywej v=\[2rx—x² w przedziale <0, 2>.

20.74. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0x cisoidy Dioklesa x³ =y²(2r—x), gdzie 1 <x<2.

Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej (dookoła osi Ox) (zad. 20.75 - 20.87):

, 0sSx<l.

20.78. y = ₄-

20.75. y=sin^7/2x, 0<xs$ijt.

2n    ,

20.77. y = acos —, 0<x^jb. b

20.79. 4x²+9y² = 36.

20.76. y = cos^7/2x, 0<x<jTt.

V3x + 1

Vx²-6x + \5

20.80. I6x² + 8y² = 144.

20.81. 25x² +4y² = 100. 20.83. 3y² = 4x, 0sSx*$l.

20.82. x²+y²-20y+75 = 0. 20.84. y = 2x³, 0<xs?l .

20.85. y = —, 2s$x<4.    20.86. y= , ¹    , 2<x<4.

Vx²-l

20.87.    y = e~^x \/sinx, 0<x<7t.

20.88.    Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła °si Ox asteroidy x=ocos³ t, y=asin³/, a>0, O^t^n.

20.89. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi °x krzywej x=/², y = /~i/³, 0^t^j3.

§ 20.4. MOMENT BEZWŁADNOŚCI, MOMENT STATYCZNY, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI Momentem bezwładności mas m₁,m₂, m_k względem osi Ox nazywamy sumę ⁽²⁰'⁴¹)    /,= I nt.yf,

i = 1

^^z'^e y, oznacza odległość masy m_t od osi Ox.

Moment bezwładności luku krzywej AB względem osi Ox wyraża się całką

^°-4.2)    i_xJ)' Xy²dL,

l-*)

^^z'^e X oznacza gęstość liniową, a dL jest różniczką łuku AB (por. wzór (20.2.2)).