209 2

416    XX. Zastosowania geometryczne całek

20.170.    Obliczyć pracę, która zostanie wykonana przy adiabatycznym sprężaniu wietrzą od objętości r_o=0,l m³ i ciśnieniu p„= 10330kG/m do objętości u, = 0,03^ (równanie adiabaty pv'‘=p_ov^k0, gdzie k= 1,4).

20.171.    Obliczyć, w ciągu jakiego czasu wyciecze woda z naczynia w kształcie półkup o promieniu R, jeżeli naczynie jest całkowicie napełnione wodą, a pole powierzchni otworu

znajdującego się na samym spodzie wynosi s (współczynnik uwzględniający straty energii przy wypływie wynosi p).

20.172. Wyznaczyć pracę L, jaką trzeba wykonać, by ciało o masie m wciągnąć na wierzchołek półkuli o promieniu R (rys. 20.22). Współczynnik tarcia pomiędzy powierzchnią ciała i półkuli wynosi p.

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

§ 21.1. CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH

Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale a^x^c—h. h>0, oraz w każdym przedziale c+k^x^b, k>0, i jeżeli istnieją granice

c — h    b

(21.1.1)    lim J f{x)dx oraz lim J f(x)dx,

h-*+0 a    k-*+0 c + k

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f{x) w przedziale <a, 6) i oznaczamy symbolem

(21.1.2)    $f(x)dx.

a

Uwaga. W punkcie x = c funkcja f(x) może nawet nie być określona; w podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu (c-S, c+d), S>0, są nieograniczone. Dla funkcji f{x) ograniczonej i całkowalnej w całym przedziale a^x4,b podana suma

b

granic równa jest całce J/(x) dx, rozumianej w zwykłym sensie.

a

Jeżeli któraś z granic (21.1.1) (lub obie) nie istnieje, to mówimy że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału <a, b}, to przez niewłaściwą (21.1.2) rozumiemy odpowiednio

b    b-k

lim J f(x)dx albo lim J f(x)dx.

h-* +0 a + h    k-*+0 a

Podamy teraz interpretację geometryczną całki niewłaściwej.

Niech funkcja f(x) będzie ciągła nieujemna w przedziale a^x<b i przy tym niech */W- + co. Wtedy, jeżeli istnieje granica

b-e

lim J f(x)dx,

e~* +0 a

^to mówimy, że pole obszaru nieograniczonego, którego brzegiem jest odcinek prostej w przedziale 0<y</(o), odcinek osi Ox w przedziale    część krzywej y =

Analiza matematyczna cz. I

u