208

414 XX. Zastosowania geometryczne całek

Rozwiązanie. Przez x oznaczamy wysokość, na jaką pompujemy wodę o obiet ■ Av=nr²Ax. Praca wykonana przy pompowaniu równa się

Ol    H    3

.= Jdx dv = nr²ó

dx dv = nr²ó xdx = n0,5² ■ 1000

o

= 250tc

3² —0,2²

= 1120ti kGm .

xdx — 25071

0,2

EL-

Zadanie 20.158. Obliczyć pracę, jaka zostanie wykonana, jeżeli drut miedziany o dłu gości /= 1 m i promieniu przekroju r = 2mm zostanie wydłużony o zl/=0,001 m. Modut sprężystości dla miedzi przyjąć E= 12000 kG/mm².

Rozwiązanie. Jeżeli przez x oznaczymy chwilowy przyrost długości, to zgodnie z prawem Hooke’a siła działająca na pręt wyniesie F=Esx/l, gdzie s = nr² jest polem przekroju pręta. Zatem praca wykonana przy rozciąganiu wynosi

Al    Al

C    Enr² C    Enr²Al² 12000rc4 1

L= Fdx-- xdx=-= -=24ii kGmm = 0,0247t kGm.

J / J 21    2-1000

o    o

Zadanie 20.159. Naczynie cylindryczne o powierzchni podstawy S = 420 cm² napełnione jest wodą do wysokości //=40cm. Na dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni 5=2 cm². Obliczyć czas t, w ciągu którego woda wycieknie z naczynia.

Uwaga. Szybkość wyciekania v w zależności od różnicy poziomów x wyraża się wzorem u=/z V2gx, gdzie /z jest współczynnikiem zależnym od lepkości cieczy oraz od kształtu otworu i naczynia. Przyjmiemy n = 0,6.

Rozwiązanie. Szybkość obniżania się poziomu wody w naczyniu wynosi

dx    j- 3

dt

u₂ = —= p v 2gx —

(    s\

z proporcji — =— , zatem szukany czas równa się

V    "2 sj

S dx

S

fjs72gx lus^/Jg] \fx ns\p2g

O    /- ‘tZU    --

=-7=2 Vw=-■-- 2 v40se 100 s

nss/2g    0,6-272-981

Zadania

20.160. Obliczyć w ciągu jakiego czasu wyciecze woda z lejka (rys. 20.20) w kształt stożka ściętego całkowicie napełnionego wodą. Promień górnej podstawy wynosi R, dolnej wysokość lejka h. (Współczynnik n przyjąć jak w zadaniu 20.159, tzn. /z = 0,6).

20.161- Obliczyć siłę nacisku wody na śluzę prostokątną, pionową o wysokości 6 = 6 m szerokości b = 8 m. Obliczyć również nacisk na dolną połowę tej śluzy (przyjąć ciężar Właściwy wody S= 1000 kG/m³).

20.162.    Pionowa boczna ścianka zbiornika ma kształt trapezu o podstawie dolnej _3;=lOm i górnej 6 = 20 m oraz wysokości 6 = 6 m. Obliczyć nacisk wody na tę ścianę przy pełnym zbiorniku (ciężar właściwy wody przyjąć 5 = 1000 kG/m³).

20.163.    Wyznaczyć nacisk wody na pionową ściankę zbiornika w kształcie okręgu ₀ promieniu R, jeżeli poziom wody sięga środka okręgu (ciężar właściwy wody przyjąć ,5=1 G/cm³).

h

3

Rys. 20.20

Rys. 20.21

20.164.    Wyznaczyć pracę potrzebną na wypompowanie wody z pełnego zbiornika w kształcie półkuli o promieniu R (ciężar właściwy wody 6= 1000 kG/m³).

20.165.    Wyznaczyć nacisk wody na pionową ściankę trójkątną o wysokości h. Podstawa trójkąta a jest równoległa do powierzchni wody i znajduje się na głębokości h (przyjąć ciężar właściwy wody 5 = 1 G/cm³).

20.166.    Obliczyć nacisk wody na pionową ściankę zbiornika (rys. 20.21), która ma kształt luku paraboli zwróconej wierzchołkiem na dół. Szerokości ścianki u góry wynosi ^a=4 m, wysokość h-4 m, zbiornik jest całkowicie napełniony wodą, tzn. wysokość wody jest również 6 = 4 m (przyjąć ciężar właściwy wody d— 1000 kG/m³).

20.167.    Obliczyć głębokość x, na jakiej należałoby podzielić poziomo prostokątną ^s'^Uzę zanurzoną na głębokości 6, ażeby nacisk wody na obydwie części był jednakowy.

20.168.    Cylindryczna cysterna o poziomej osi napełniona jest całkowicie olejem (ciężar "'łaściwy 0,9 t/m³). Obliczyć nacisk oleju na płaską pionową ściankę cylindra, jeżeli propen r = 2m.

20.169.    Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, ażeby wypompować wodę z jamy w kształ-^Cle stożka (o pionowej osi), którego wysokość H=2 m i promień podstawy 11=0,3 m Ciężar właściwy wody <5= 1000 kG/m³).