matematyka 1

GEOMETRIA ANALITYCZNA

TEST WSTĘPNY

Zad.l.

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których punkty: A = (—2m² — 1; —3), B = (1; 5) oraz C = (-2; —1) są współłiniowe. (tzn. leżą na jednej prostej)

Zad.2.

Punkty A=(-3;2), B=(4;l), C=(0;-3) są wierzchołkami trójkąta ABC.

a)    Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A.

b)    Wyznacz równanie prostej, do której należą środki boków AB i AC.

Zad.3.

Punkty A=(-3;l), B=(3;-2), C-(5;2) oraz D=(-3;6) są wierzchołkami trapezu prostokątnego ABCD. Wykaż, że poła trójkątów ABC i ACD mają się do siebie jak 3:4.

Zad.4.

W trójkącie ABC są dane A=(-2;l), B=(l ;3) oraz H =    gdzie H jest to punkt przecięcia się prostych

zawierających wysokości tego trójkąta. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

Zad.5,

Punkt A=(2;3) jest wierzchołkiem prostokąta ABCD, punkt S=(3;l) jest środkiem boku AB. Jedna z osi symetrii prostokąta ABCD ma równanie 2x+y+3=0. Wyznacz współrzędne wierzchołków B, C i D.

TEST ĆWICZENIOWY

Zad.l.

Dane są równoległe proste l i m o równaniach /: 2x-3y+9=0 oraz m: -2x+3y+3=0. Oblicz odległość między tymi prostymi.

Żad.2.

Do prostej / należą punkty A—(1 ;0) i B=(- i ;2).

a)    Wyznacz równanie prostej l.

b)    Wyznacz równanie prostej / w symetrii względem punktu M=(2;l).

Zad.3.

Punkty A=(2;-4), B=(l;3) i C=(-l;2) są wierzchołkami trójkąta.

a)    Uzasadnij, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

b)    Oblicz pole trójkąta ABC.

Zad.4.

Punkty A=(-2;0) i B=(6;6) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC.

a)    Oblicz pole trójkąta ABC.

b)    Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C. Zad. 5.

Prosta l, do której należy punkt C=( 1 ;3), przecina dodatnie pólosie układu współrzędnych w punktach A i B. Pole trójkąta AOB jest równe 6,25. Wyznacz równanie prostej /.(punkt O jest początkiem układu współrzędnych)

Zad. 6.

Punkty A=(0;3), B=(0;0), C=(-5;0) i D=(x,3), gdzie xeR są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Wyznacz wartość x, dla której w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zad. 7.

Bok AB równoległoboku ABCD zawiera się w prostej m o równaniu x-y+l=0, a bok AD tego

równoległoboku w prostej / o równaniu 3x+2y-12=0. Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie

P⁼(6;4). Wyznacz równania prostych zawierających pozostałe boki równoległoboku ABCD.

Zad. 8.

Dane są punkty A=(4;0) i B=(8;2) oraz prosta 1 o równaniu x-y+l=0. Wyznacz współrzędne takiego punktu P należącego do prostej /, aby suma kwadratów odległości punktu P od punktów A i B była najmniejsza. Zad. 9.

Punkty A=(3;-l) i C—(5; 1) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD. Jeden z pozostałych wierzchołków tego rombu należy do prostej o równaniu x=l. Wyznacz pozostałe wierzchołki rombu ABCD. Zad. 10.

Punkty A=(3;4), B=(0;3) i C=(1;0) należą do okręgu. Wyznacz długość promienia tego okręgu.