720154752

18 Szczególne rodzaje ideałów

Ćwiczenia - zestaw 3

zad.3.1. Wyznaczyć wszystkie ideały w Zn x Zi₂ i uzasadnić, które z nich są pierwsze a które maksymalne.

zad.3.2. Wyznaczyć wszystkie ideały w Z x Z i sprawdzić, które są pierwsze a które maksymalne.

zad.3.3. Zbadać, czy ideał I — {o₀ + a^X + ... + a_nXⁿ € Z[X] :    a₀ = 0, n G N₀}

i=0

jest ideałem pierwszym w Z[I],

zad.3.4. Wykorzystując odwzorowanie: F : Z[X] 3 f—>/( 1) 6 Z oraz twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni wykazać, że Z[X\/I = Z gdzie I to ideał z zadania 3.2. Odpowiedzieć na pytanie, czy I jest ideałem maksymalnym w Z[X],

zad.3.5. Korzystając z algorytmu dzielenia z resztą wypisać wszystkie elementy pierścienia Z₂[X]/(X² +1), wyliczyć ich ilość, ułożyć tabelkę dodawania i mnożenia tych elementów i znaleźć dzielniki zera i elementy odwracalne.

4.4 Pierścienie euklidesowe

Definicja 4.4.1 (pierścień (dziedzina) Euklidesa). Jeśli P jest pierścieniem, zaśp: P* —» N taką funkcją, że dla każdych a G P i b € P* istnieją takie q,r € P, że:

(1)    a = bq + r,

(2)    jeśli r^O, to p(r) < p{b),

to wówczas parę (P, p) nazywamy pierścieniem Euklidesa. Jeśli P jest dodatkowo pierścieniem całkowitym, to mówimy, że (P, <p) jest dziedziną Euklidesa. Funkcja <p nazywana jest czasem „algorytmem Euklidesa” w pierścieniu P.

Warto zaznaczyć, że nasza definicja nakłada niewiele założeń na funkcję ip. Często w definicji pierścienia euklidesowego pojawiają się dodatkowe założenia o funkcji <p (na przykład jej multiplikatywność). Okazuje się, że w zależności od tego jakie dodatkowe własności narzucamy na funkcję p możemy otrzymywać różne charakteryzacje pierścieni euklidesowych.

Przykład 4.4.2.

(1)    Jeśli przyjmiemy pik) — |fc| dla k G Z, to (Z, p) będzie dziedziną Euklidesa. W tym przypadku dla dowolnej pary liczb całkowitych otrzymujemy dokładnie dwie reszty spełniające warunki z definicji (o ile jedna liczba nie dzieli drugiej). Pierścienie takie nazywane są pierścieniami z podwójną resztą. Jak się okazuje jedynym (z dokładnością do izomorfizmu) pierścieniem euklidesowym z podwójną resztą jest wspomniany pierścień (Z, | |).

(2)    Każde ciało K jest dziedziną Euklidesa z funkcją p określoną wzorem

ip(a) = 1