720154750

16 Szczególne rodzaje ideałów

Definicja 4.3.4 (stopień wielomianu). Dla dowolnego ustalonego elementu f = (ao, ai,...) G P[X] \ {0} określamy

deg(f) max{n G No : a_n ^ 0}.

Liczbę tę nazywamy stopniem wielomianu f. Dla wielomianu zerowego przyjmujemy stopień równy — oo.

Zauważmy, że dzięki 4.3.1 wyjściowy pierścień P można traktować jako podpierścień pierścienia P[X). Zgodnie z określeniem mnożenia w pierścieniu P[X) i określeniem zmiennej X mamy następującą własność.

Własność 4.3.5 (przedstawienie wielomianu). Dowolny wielomian f G P[X] posiada jednoznaczne przedstawienie w postaci:

(★) f = a_nXⁿ + a_n—iXⁿ ^ —1~ • • • —j— a,\X + ooi gdzie ai G P oraz a_n ^ 0 dla n =deg(f).

Definicja 4.3.6 (współczynniki wielomianu). Elementy ai z powyższego przedstawienia wielomianu nazywamy współczynnikami wielomianu f, element a$ - współczynnik wolny f, element a_n, gdzie n =deg(f) - współczynnik wiodący f.

Wielomian którego współczynnik wiodący jest równy 1 nazywamy wielomianem unitarnym.

Następna własność powie nam co dzieje się ze stopniem wielomianów gdy je dodajemy i mnożymy.

Własność 4.3.7 (własności stopnia). Niech P - pierścień przemienny z 1 ^ 0, /, g G P[X]. Wtedy

•    deg(f + g) ^ max{deg(f),deg(g)},

•    deg(f-g) ^deg(f)+deg(g).

Jeśli dodatkowo oba wielomiany są niezerowe i współczynnik wiodący któregoś z wielomianów nie jest dzielnikiem zera w pierścieniu P to zachodzi wzór:

deg(f ■ g) = deg(f) + deg(g).

Dowod. Niech f = a_nXⁿ-\-a_n—\Xⁿ *-!-• • * —ł——I—eto &9 ⁼    \X^m *-!-• • •+ói^ć-|-6o,

gdzie n =deg(/) i m =deg(<?). Oznacza to, że a_n ^ 0 i b_m ^ 0.

Nierówność dla sumy wynika wprost z definicji i widać od razu, że nie można jej zastąpić równością. Wystarczy bowiem wziąć wielomian / i —/ (niezerowe) aby nierówność była ostra.

Również w przypadku iloczynu widać na podstawie jego definicji, że najwyższym współczynnikiem wiodącym jaki możemy uzyskać jest współczynnik indeksowany przez n + m. Współczynnik z tym wskaźnikiem jest równy a_nb_m. Jeśli więc któryś z tych współczynników nie jest dzielnikiem zera to wobec niezerowości obu na pewno też a_nb_m ^ 0 i wówczas deg(/ • j)=deg(/)-deg(s).    □