720154747

Rozdział 4

Szczególne rodzaje ideałów

4.1 Ideały pierwsze

Definicja 4.1.1 (ideał pierwszy). Jeśli P jest pierścieniem, to ideał I ^ P nazywamy ideałem pierwszym, gdy dla dowolnych a,b € P z faktu ab e I wynika, że a E I lub b € I.

Własność 4.1.2 (charakteryzacja pierwszości w języku ilorazowego). Jeśli P jest pierścieniem, zaś I jest ideałem właściwym w P, to I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień P/I jest całkowity.

Dowód. Załóżmy najpierw, że I jest ideałem pierwszym i weźmy a + I, b + I z pierścienia ilorazowego takie, że (a + I)(b + I) = Op/i- Wtedy ab + I = 0p/i co oznacza, że ab & I. Z pierwszości ideału mamy więc, że a € 7 lub 6 6/ skąd a + I = 0 lub b +1 = 0 i mamy całkowitość pierścienia P/I.

Odwrotnie, załóżmy że P/I całkowity i weźmy a, b € P takie, że ab 61 I. Wtedy (a + I)(b +1) = ab +1 = 0p/i skąd z całkowitości P/1 mamy a +1 = 0 lub 6 + 7 = 0 czyli a G I lub b € 7, czyli 7 jest ideałem pierwszym.    □

4.2 Ideały maksymalne

Definicja 4.2.1 (ideał maksymalny). Jeśli P jest pierścieniem, to ideał m ^ P nazywamy ideałem maksymalnym, gdy dla dowolnego ideału I <P z faktu m C 7 wynika, że I = m lub I = P.

Przykładowo ideał (n) w Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy |n| jest liczbą pierwszą.

Własność 4.2.2 (charakteryzacja maksymalności w języku ilorazowego). Jeśli P jest pierścieniem, zaś m jest ideałem właściwym w P, to ideał m jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy P/m jest ciałem.

Dowód. Przypomnijmy, że rzutowanie kanoniczne n: P —* P/m jest epimorfizmem pierścieni i wiemy, że każdy ideał J w pierścieniu P/m jest obrazem przez to rzutowanie pewnego takiego ideału J w P, że m C J, (twierdzenie o przenoszeniu ideałów). Jeśli więc m jest ideałem maksymalnym, to jedynymi takimi ideałami 7, że m C 7 są m oraz cały pierścień

13