720154754

20 Szczególne rodzaje ideałów

Klasę równoważności pary (a, s) E P x P* względem relacji ~ będziemy oznaczać przez a/s, zaś zbiór ilorazowy (P x P*)/~ przez K(P).

Na zbiorze K(P) wprowadzimy działania dodawania i mnożenia wzorując się na znanym nam dodawaniu i mnożeniu ułamków w Q. Mianowicie:

a/s + a'/s' := (as' + a's)/ss',    (a/s){a! /s') := aa!/ss',    a/s,a'/s' € K(P).

Własność 4.5.2 (poprawność konstrukcji ciała ułamków). Zdefiniowane powyżej działania są poprawnie określone, zbiór K(P) z tak wprowadzonym dodawaniem i mnożeniem ma strukturę ciała, zaś odwzorowanie i: P 3 a*—>a/l e K (P) jest monomorfizmem pierścieni.

Dowód. Po pierwsze musimy wykazać, że wartości działań nie zależą od wyboru reprezentantów. Wykażemy ten fakt najpierw dla dodawania. Niech a/s = a'/s' oraz b/t — b'/t^J. Oznacza to, że

as¹ — a's = 0, bt' — b't = 0.

Mamy teraz, że

(at + bs)s't' — (a't' + b's')st = tt'(as' — a!s) + ss'{bt' — b't) = 0.

Dla mnożenia mamy zaś

abs't' — a'b'st = (at¹ — a't)bs' + (bs' — b's)a't = 0.

Chcąc pokazać, że K(P) z tak wprowadzonymi działaniami jest ciałem, wystarczy wykonać odpowiednie obliczenia korzystając z przemienności i łączności w P. Łatwo również sprawdzić, że 0/1 jest zerem, zaś 1/1 jedynką pierścienia K(P). Zauważmy jeszcze, że 1/1 7^ 0/1, bo inaczej byłoby 1 = (1 • 1 — 0 • 1) = 0 wbrew założeniu że 1 ^ 0. Elementem odwrotnym do każdego elementu postaci | gdzie a / 0 jest element Zauważmy też, że dla dowolnego s £ S jest s/s — 1/1 oraz 0/s — 0/1. Na koniec jeśli a,b € R, to

i(a + b) = (a + b)/1 = a/1 + b/1 — i(a) + i(b),

i(ab) = ab/1 = (a/l)(ó/l) = i(a)i(b).

Skoro jest to więc homomorfizm to wiadomo, że będzie on injektywny dokładnie wtedy, gdy jego jądro składa się tylko z zera. Ale jeśli f = y *’° ^wP^rost z definicji mamy a = 0 co kończy dowód.    □

Definicja 4.5.3 (ciało ułamków). Jeśli P jest pierścieniem całkowitym z 1 7^ 0 to ciało K(P) nazywamy ciałem ułamków pierścienia P.

Przykład 4.5.4.

(1)    Gdy P = Z, to przeprowadzenie konstrukcji ciała ułamków prowadzi do ciała Q.

(2)    Jak wiemy pierścień K[X] jest całkowity. Ciało ułamków tego pierścienia oznaczamy K(X) i nazywamy ciałem funkcji wymiernych n-zmiennych nad ciałem K.