92

2.4. Zastosowania geometryczne całek

2.4.1. Pola obszarów płaskich

Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych liniami:

A

1. y — x — 2x, y — 3x,

4

2.    y — 2rr -h 2, y =    7/ = \/^ — 1, s = 0,

x

3.    x —3 cos £, f/^sinż, £e[0, 27t],

4.    p — 2| sin 2<^|.

Rozwiązania

1. Parabola y — x2 —2x przecina oś Ox dla a; = 0 i x = 2. Rozwiązując układ równań

y = 3x y = x2 — 2x

wyznaczamy punkty Pi(0,0), P2(5,15) przecięcia prostej z parabolą. Stąd szukane pole można obliczyć za pomocą całki oznaczonej

[ [Sx — (x2 — 2x)] dx = f (5x — x2)dx ^0    ao

= 125 I - - - I =

0

2. Rozwiązując układy równań

y = 2x + 2,

4

V = x > 0, x

wyznaczymy punkty przecięcia krzywych: Pi(l,4),    P2(4,1). Stąd szukane pole jest

równe:


A


125

~6~


2*    3




A =


1    /*4

[(2x 4- 2) — (y/x — 1 )\dx 4-


0


]

X


- (y/x- 1)


dx


1    r 4

(2x - yfx 4- 3)dx 4-o    Ji



^    /—

--4- 1

x*


dx


— x


+ ( 4 ln lii —


O


2    3

-a;2 +

3


16 , 2

--h 4 + -

3    3


1--+3 + 4 ln 4

3

1 = - +81n2

O

3. Dana krzywa ma przedstawienie parametryczne i jest nią elipsa. Wysta policzyć pole jednej ćwiartki i pomnożyć przez 4. Przypomnijmy, że jeśli kr; jest dana w postaci parametrycznej:

x - x{t), y = y{t), t 6 [a,f3],

to pole obszaru określone jest wzorem:

A =

\y(t)x'(t)\dt

Ol


3

przy założeniu, że funkcje x, x' oraz y są ciągłe w rozpatrywanym przedzi

więc


A = 4


2r


TT


./()


\y{t)x'(t)\dt = 12 / siir tdt = 12

Jo    -Jo

ir 2


I


hih 2/


7T


6 1 — 1 = 3tt


' ^ 1 — cos 21


dl


(i /

2

0