s92 93

92

2.4. Zastosowania geometryczne całek

2.4.1. Pola obszarów płaskich

Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych liniami:

A

1. y — x — 2x, y — 3x,

4

2.    y — 2rr -h 2, y =    7/ = \/^ — 1, s = 0,

x

3.    x —3 cos £, f/^sinż, £e[0, 27t],

4.    p — 2| sin 2<^|.

Rozwiązania

1. Parabola y — x² —2x przecina oś Ox dla a; = 0 i x = 2. Rozwiązując układ równań

y = 3x y = x² — 2x

wyznaczamy punkty Pi(0,0), P₂(5,15) przecięcia prostej z parabolą. Stąd szukane pole można obliczyć za pomocą całki oznaczonej

[ [Sx — (x² — 2x)] dx = f (5x — x²)dx ^0    ao

= 125 I - - - I =

0

2. Rozwiązując układy równań

y = 2x + 2,

4

V = x > 0, x

wyznaczymy punkty przecięcia krzywych: Pi(l,4),    P₂(4,1). Stąd szukane pole jest

równe:

A

125

~6~

2*    3

A =

1    /*4

[(2x 4- 2) — (y/x — 1 )\dx 4-

0

]

X

- (y/x- 1)

dx

1    r 4

(2x - yfx 4- 3)dx 4-o    Ji

^    /—

--4- 1

x*

dx

— x

+ ( 4 ln lii —

O

2    3

-a;² +

3

16 , 2

--h 4 + -

3    3

1--+3 + 4 ln 4

3

1 = - +81n2

O

3. Dana krzywa ma przedstawienie parametryczne i jest nią elipsa. Wysta policzyć pole jednej ćwiartki i pomnożyć przez 4. Przypomnijmy, że jeśli kr; jest dana w postaci parametrycznej:

x - x{t), y = y{t), t 6 [a,f3],

to pole obszaru określone jest wzorem:

A =

\y(t)x'(t)\dt

Ol

3

przy założeniu, że funkcje x, x' oraz y są ciągłe w rozpatrywanym przedzi

więc

A = 4

2r

TT

./()

\y{t)x'(t)\dt = 12 / siir tdt = 12

Jo    -Jo

ir 2

I

hih 2/

7T

6 1 — 1 = 3tt

' ^ 1 — cos 21

dl

(i /

2

0