170(1)

811.    Obliczyć całkę podwójną ) I q² sin cy do dy po obszarze ograniczo-

D

nym kardioidą ę = a(l-rCosę5) i osią biegunową, jeśli: a) i b) rr ^ <p < 2n.

812.    Sprowadzić do współrzędnych biegunowych i obliczyć całki podwójne:

1)    f I xy²dxdy po obszarze R ograniczonym okręgami x^2j,-(y— l)² = 1 j?

i X²-}-}'² — 4y

2)    ff e~^x'~^>a dxdy, gdzie P koło x²+y² < a², •

p

§ 3. Obliczanie pól za pomocą całki podwójnej

Pole S płaskiego obszaru Z) jest równe calce podwójnej z ds, rozciągniętej na obszar D

S— ff ds

D

We współrzędnych prostokątnych ds = dxdy\ więc

S=ff dxdy    (1)

D

a we współrzędnych biegunowych ds = ędydo, więc

^s = SJ Z^d(P^dQ    (2)

D

813.    Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

1)    / = a:³, y² = 3(6—x)³

2)    y = 2\ y = 2-^2x, y = 4

(5) o = a cosę>, (> = ócosęs; ń > a > 0 4) (x²+p²)² = 2«²xy

Rozwiązanie: 1) Dane parabole półsześcienne ograniczają czworokąt krzywoliniowy OABC (rys. 166). (Punkty przecięcia wyznaczamy przez rozwiązanie równań obu krzywych).

Ze względu na symetrię obszaru względem osi Ox, wystarczy obliczyć pole trójkąta krzywoliniowego OBC, położonego w pierwszej ćwiartce płaszczyzny, i pomnożyć je przez dwa. Na podstawie wzoru (1) pole obszaru OBC otrzymamy, obliczając całkę podwójną z dxdy rozciągniętą na ten obszar

*8 2 ^y 8 S--= 2 I I dxdy = 2 j dy j dx = 2 j

₆ i 4

o— ~y-

-

OBC    O    2_    o

Gdybyśmy chcieli całkować w odwrotnym porządku, to obszar OBC należy podzielić na części prostą, poprowadzoną przez punkt C równolegle do osi rzędnych. Wtedy

4 yxl    6    V'8(6—x)⁵

S = 2[jdxj dy-\- J dx j dy)

0    0    4    0

Wynik oczywiście będzie taki sam jałc poprzednio.

2) Dane linie ograniczają trójkąt krzywoliniowy ABC (rys. 167). Zgodnie ze wzorem (1) szukane pole wynosi

ln y

Inz ,	In^ \
ln 2 ‘	21n2 j

dy =

4 lnT

S = ff dxdy = j dy | dx =

ABC    1    _

2 ln 2

343