3582326465

Przykład 6.6

1. Obliczyć mikę po obszarze D ograniczonym krzywymi:

2. Znaleźć pole elipsy.

J j dr dy = j    (^ j abr drj dt = II ab

8. Obliczyć całkę:

J j. (.'?• + y) dr dy

gdzie obszar U jest ograniczony prostymi:

2x + y = 2. 2x + y = 3, x — y = 1, a; — y = —i

Rozwiązanie:

Wprowadzamy nowe zmienne: u = 2x+y. v = x — y . Jakobian przekształcenia J{u_t v) = -i.

II    (*+v)dxd_v ~ J‘(£ ł ■ ^ *) * = g f‘ ⁴“ *>■ = T

6.8 Całka potrójna

Gałkę potrójną oznaczamy symbolem:

J j Jr f (^x-'!J:^)dx <},yd.t

Przedziałom domkniętym P jost prostopadłościan

P = (a, b) x <c, d) x <Ax. l)

Twierdzenie 6.8 (O zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną)

■Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie P, to

Ul f ^y^d*dudz =    mv,4dij ,/./} d,:

Uwaga 6.4 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie, równości napiszemy dowolną z sześciu możliwych całek iterowanych.

Przykład 6.7 Obliczyć całkę fff_F (x + 2y + 3,c) dxdydz, gdzie P jest prostopadłościanem P = (0.1) x (—1,1) x (2,3).