720154760

1.1. Podstawowe definicje i przykłady 7

Własność 1.1.9 (element odwracalne a dzielniki zera). Niech P będzie pierścieniem z

1^0.

(1)    Element odwracalny nie może być dzielnikiem zera, inaczej U(P) D D(P) = 0.

(2)    Każde ciało jest pierścieniem całkowitym.

(3)    Zbiór U(P) tworzy grupę z działaniem mnożenia.

Dowód. (1) Jeśli a € P byłby jednocześnie elementem odwracalnym i dzielnikiem zera, to byłby to element niezerowy dla którego istniałyby dwa elementy: b G P*, c £ P takie, że ab = 0 oraz ac = 1. Mnożąc pierwsze z równań obustronnie przez c dostalibyśmy cab = c • 0 = 0, ale korzystając z przemienności mnożenia mamy acb = 0 a ponieważ ac = 1 to dostajemy, że b — 0 co jest sprzeczne z założeniem.

(2)    Skoro w ciele każdy element niezerowy jest odwracalny, to zgodnie z (1) żaden niezerowy element nie może być dzielnikiem zera, czyli pierścień jest całkowity.

(3)    ćwiczenie.    □

Ćwiczenia - zestaw 1

zad.1.1. (a) Sprawdzić, czy zbiór P = Q(\/2) = {a + by/2 : a, b € Q} ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych tworzy pierścień, czy jest to pierścień całkowity oraz czy jest to ciało.

(b) Na analogiczne pytania odpowiedzieć dla zbioru P = Q x Q i działań: (a, b) + (c, c) := (a + b,c + d), (a, b)(c, d) = (ac + 2bd, ad + bc).

zad. 1.2. Sprawdzić, czy zbiór funkcji parzystych określonych na R z działaniami dodawaniami mnożenia funkcji jest pierścieniem.

zad.1.3. Sprawdzić, że Z [i] = {a + bi, a, 6 € Z} jest pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia liczb zespolonych. Wyznaczyć zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia i zbiór jego dzielników zera.

zad. 1.4. Sprawdzić jak wygląda zbiór elementów odwracalnych i dzielników zera w pierścieniu Z[iy/3] = {a + biy/3, a, b G Z}.

zad.1.5. Udowodnić, że w pierścieniu Z_m (z działaniami dodawania i mnożenia modulo m) zachodzą następujące równoważności:

(a) k G U(Z_m) ^ NWD(k,m) = 1

(6) k € .D(Z_m)

k / 0(mod m) oraz NWD(k,m) > 1.

zad.1.6. Wyznaczyć dzielniki zera i elementy odwracalne w pierścieniach 1

5 x ZiQ.

oraz

zad. 1.7. Wyznaczyć postać dzielników zera oraz elementów odwracalnych w pierścieniach: Z x Z, R x Z oraz Z x Z[i\.