3582320363

1. (a) Udowodnij, że żaden element odwracalny pierścienia przemiennego z jedynką nie jest dzielnikiem zera.

(b)    Wykaż, że 2 nie jest elementem pierwszym Z[iyf7].

(c)    Jakiego typu elementem (odwracalnym, nieodwracalnym, nierozkładalnym,

77 V

10

rozkładalnym) jest —e Z 5

2. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką oraz F: A-^B będzie epimorfizmem pierścieni. U dowodnie, że jeśli B jest pierścieniem całkowitym to KerF jest ideałem pierwszym.

4. Udowodnij, że liczba yfŚ —y/7 jest algebraiczna. Podaj bazę i wymiar rozszerzenia V3,V7| . Wykaż, że rozszerzenie q(j/3—2^/2 ^ _oraz 0^/3^272 ^ _Są izomorficzne.

Egzamin 08.06.05

1. Niech a=(l)(2)(3), b=(123), c=(132), d=(l)(23), e=(13)(2), f=(12)(3).

Uzupełnij poniższą tabelę tak by otrzymać grupę permulacji zbioru {1, 2, 3}. Podaj [&]«,, gdzie Hi jest podgrupą altemującą oraz [c^_1]hj, gdzie H₂ jest nietrywialną podgrupą taką, że

	a	b	c	d	e	f
a	a	b	c	d	e	f
b	b		a	e		d
c	c	a	b	f	d	e
d	d		e	a		b
e	e	d	f	b	a	c
f	f	e	d	c	b	a

4.    Podaj bazę i wymiar rozszerzenia q[V2+V3^

5.    Wykaż, że J={0,2} jest ideałem w Z₄ i że pierścień Z J J jest izomorficzny z pierścieniem Z-

2.

6. Udowodnij, że jeśli suma dwóch ideałów głównych I_a + Ib jest ideałem głównym, to istnieje (a, b) oraz I_a + I_b = !{* _b>.

7.    Niech hiD^E będzie izomorfizmem oraz D pierścieniem bez dzielników zera. Wykaż, że E jest bez dzielników zera.

8.    Czy ideał główny generowany prze wielomian X²⁰⁰⁵ - 6x + 12 jest maksymalnym w pierścieniu Q[x]?

10.09.2007

1. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

Grupa skończona, której każda właściwa podgrupa jest cykliczna, jest grupą cykliczną. Każda grupa cykliczna jest abelowa.