720154758

Rozdział 1

Pierścienie - wiadomości ogólne 1.1 Podstawowe definicje i przykłady

Do tej pory strukturę algebraiczną zadawaliśmy na zbiorze za pomocą jednego działania. Teraz, podobnie jak w sposób naturalny pojawia się to w przypadkach podzbiorów liczbowych, będziemy operować dwoma działaniami zadając tym samym (przy odpowiednich własnościach działań) strukturę pierścienia. Najbardziej „intuicyjnym” przykładem jest tu ponownie znany nam zbiór liczb całkowitych, na którym mamy dwa naturalne działania dodawania i mnożenia. Jest to „bazowy” dla nas przykład pierścienia.

Definicja 1.1.1 (pierścień). Jeśli P jest zbiorem niepustym, na którym zadano dwa działania oznaczane odpowiednio + oraz ■ (nazywane dodawaniem i mnożeniem) o następujących własnościach:

(1)    (P, +) jest grupą abelową z elementem neutralnym oznaczanym przez 0,

(2)    (P, •) jest pólgrupą (łączność mnożenia),

(3)    a(b + c) — ab + ac oraz (b + c)a — ba + ca dla dowolnych a, b, c £ P (rozdzielność mnożenia względem dodawania),

to trójkę (P, +, •) (w skrócie R) nazywamy wówczas pierścieniem. Dodatkowo jeśli:

(4)    istnieje takie l£P, że a-l = a = \- a dla dowolnego a € P (element neutralny mnożenia), to mówimy o pierścieniu z jedynką,

(5)    ab = ba dla dowolnych a,b £ P (przemienność mnożenia), to mówimy o pierścieniu przemiennym.

Jeśli zachodzą warunki (1) — (5), to mówimy o pierścieniu przemiennym z jedynką.

Podzbiór R pierścienia (P, +, •) nazywamy jego podpierścieniem, gdy (R, +|kxr, -|/e_x/j) jest pierścieniem. Jeśli P ma jedynkę 1 p, to dodatkowo wymagamy aby lp € R.

Własność 1.1.2 (podstawowe własności elementów pierścienia). Niech P będzie pierścieniem oraz niech a, b, a\,..., a_n, bi,..., b_m £ P.

(ż) a • 0 = 0 = 0 • a.

5