0200

201

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

nazywa się pochodną rzędu n lub n-tą pochodną danej funkcji y—fOc); do jej oznaczenia używamy następujących symboli:

d”y

dxⁿ

y^w,

D”y;

d”f(x₀) dxⁿ ’

f^w(x o), ffffro).

Gdy korzystamy z oznaczeń Lagrange’a lub Cauchy‘ego, może niekiedy wyniknąć potrzeba wskazania zmiennej, względem której obliczamy pochodną; zapisujemy wtedy tę zmienną jako wskaźnik u dołu:

y*> ^Dl>y> ń”Xxo),    itp.,

przy czym x², x³,... jest umownym zapisem skróconym, używanym zamiast xx, xxx,... Możemy na przykład napisać a=s',i.

Jasne jest dla czytelnika, że i tutaj symbole jednolite

^4,    /<"> lub /£>, D"f lub DU

można rozpatrywać jako symbol funkcji.

W ten sposób zdefiniowaliśmy pojęcie pochodnej rzędu n, jak to się zwykle mówi, indukcyjnie, przechodząc kolejno od pierwszej pochodnej do następnych. Zależność

/») = [/-!)]'

określającą pochodną rzędu n nazywamy również rekurencyjną (lub zwrotną), ponieważ „powraca” ona od pochodnej rzędu n do pochodnej rzędu n— 1.

Samo obliczanie pochodnych rzędu n, gdy n jest daną liczną, odbywa się według znanych czytelnikowi reguł i wzorów. Jeśli na przykład

>=5*⁴-s*³⁺²*^a+f*-i

to

y'=2x³ —ix²+4x+^,    y''-6x²—x+4,

y"'=12x-l ,    y^(4>=12,

wszystkie następne pochodne równają się więc tożsamościowo 0. Niech

y=ln(x+yV+l),

wtedy

itd.

¹    „    *    2**-l

^r=~(*² + l)^3/2’    ^y"⁼(x¹ + l)‘¹¹’

Zauważmy, że w stosunku do pochodnych wyższych rzędów, można, tak samo indukcyjnie, wprowadzić pojęcie pochodnej jednostronnej (porównaj ustęp 100). Jeśli funkcja y=f(x) jest określona tylko w pewnym przedziale SC, to mówiąc o pochodnej dowolnego rzędu w końcu przedziału, mamy zawsze na myśli właśnie pochodną jednostronną.