074 2

Rozdział IX

MACIERZE, WYZNACZNIKI, RÓWNANIA LINIOWE

§ 9.1. MACIERZE. WYZNACZNIKI

Macierzą (prostokątną) A nazywamy prostokątną tablicę liczb; poniższa macierz A m_a n wierszy i m kolumn i oznacza się

		a, i	«12 •	• ^a\m
(9.1.1)	A =	Uzi	022 •	• Q 2m
		_0*1	a„2 ■	^ nm_

Tablicę prostokątną liczb oznaczającą macierz ujmujemy w nawias kwadratowy jak w (9.1.1) albo w nawias półokrągły ( ). Zapis a_ik oznacza, że element ten znajduje się w (-tym wierszu i k-tej kolumnie macierzy, np. element a_2i znajduje się w drugim wierszu (pierwszy wskaźnik) i trzeciej kolumnie (drugi wskaźnik); mówi się również, że element a₂3 leży na przecięciu drugiego wiersza i trzeciej kolumny.

Mówimy, że macierz (9.1.1) jest wymiaru (typu) nxm (czytaj n na m albo n razy ml i w skróconej postaci zapisujemy w postaci

lub [0,*] (i=1,2.....n, k=l ,2,..., m).

Gdy n — m, tzn. gdy liczba wierszy równa jest liczbie kolumn, macierz (9.1.1) nazywam; macierzą kwadratową stopnia n, a liczbę n — jej stopniem.

Każdej macierzy kwadratowej

(9.1.3)

0n	012 ■	• 01*
021	022 •	• 02*
	0 nl •	• 0*»

. c*

zauważmy, że tablicę kwadratową liczb oznaczającą wyznacznik — w odróżni^enlU

		«l!	012 •	■ «!„
(9.1.2)	W =	«21	^fl22 •	• 0 2n
		_°nl	0„2 •

przyporządkowujemy liczbę zwaną wyznacznikiem, którą oznaczamy jednym z następ jących symboli: det W, |W|, W lub

_c._£rZy _ ujmujemy dwiema równoległymi kreskami po lewej i prawej stronie tablicy. ⁿf'\vimy> że wyznacznik (9.1.3) jest stopnia n, podobnie jak macierz (9.1.2).

* °\Vyznacznik jest więc liczbą określoną przez tablicę kwadratową. Ogólną regułę obli-■ wyznacznika dowolnego stopnia n, ze względu na konieczność uprzedniego wpro-^C adzenia pewnych pojęć, podamy później. Obecnie podamy kolejno reguły obliczania '^•znaczników stopnia n = l, 2 i 3.

(3dy wyznacznik jest stopnia pierwszego, tzn. n— 1, definiujemy wyznacznik wzorem

M=«(*)■

a b c d

_Gdy wyznacznik jest stopnia drugiego, tzn. n = 2, obliczamy go z pomocą następującego wzoru:

n h

= ad- bc

Gdy wyznacznik jest stopnia trzeciego, tzn. n = 3, do obliczenia wyznacznika często stosuje się tzw. regułę (metodę) Sarrusa Polega ona na tym, że poniżej wyznacznika stopnia trzeciego dopisujemy jego pierwszy wiersz, pod nim drugi wiersz, a następnie tworzymy sześć iloczynów (po trzy czynniki w każdym), z których trzy bierzemy nie zmieniając ich znaków, a w trzech pozostałych iloczynach zmieniamy ich znaki (tak jak pokazuje poniższy schemat), a następnie wszystkie sześć iloczynów sumujemy:

a i b_{ c,

= a_lb₂c₃+a₂b₃c_l+a₃b_l c₂—a₃b₂c_l — ti[ b₃c₂—a₂ b_{c₃.

(⁹¹-⁴) a₂ b₂ c₂

X X

«3 b₃ c₃

/XXX

- Uj b, c_t +

/X \ \

b₂ c₂ "I^-

/ \

+

W dalszych rozważaniach słowo wyznacznik będzie oznaczało często określającą go >ablicę liczb.

Minorem (podwyznacznikiem) danej macierzy (danego wyznacznika) nazywamy każdy '^znacznik określony tablicą kwadratową powstałą z danej macierzy (wyznacznika) ^{Przez s}kreślenie pewnej liczby wierszy oraz kolumn.

Minorem odpow iadającym elementowi a_ik danej macierzy kwadratowej albo danego . ^nac2nika nazywamy wyznacznik, który powstaje przez skreślenie (pominięcie) i-tego ’ ^-tej kolumny. Oznaczamy go symbolem M_tk. _n °^Pe”^1,en'^em algebraicznym A_ik elementu a_ik nazywamy liczbę równą iloczynowi mi-

^a ^ik odpowiadającego temu elementowi przez (— l)^ł+k:

(9.1

^}    A,_k=(-l)^t+kM_ik.

^(l) Nie

mylić z wartością bezwzględną liczby a.