121560

Jeżeli równanie charakterystyczne (rów kwadratowe) ma dwa różne pierwiastki zespolone

Ri= a +b_t a r₂=a-b,

To rozw ogólne L(y]=0 ma postać

y(*) = c, e    ^bt+Ci e '^s'^{n bt}

Przykład2

y"'_₃y* +9y'+13y=0 R*-3r*+9r+13=0

Ri= -1 ->yl(t)=e-R₂=2 +3i ->y2(t)=e^2,cos 3t R₃=2-3i ->y3(t)=e^2,sin3t

>’(' ) ⁼ Cl e ⁺ Cl e w* ^{3/ +} C3£ ^sin 3/

Rozwiązanie ogólne:

III Wielokrotne pierwiastki zespolone

Przypuśćmy, że liczby r=a±bc są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami dla równanie L[y)=0. Pierwiastkom tym (a jest ich 2k)odpowiada 2k liniowo niezależnych rozwiązań równania L[y}=0 Rozwiązania te mają postać

Yi(t)=e^alcosbt    y₂(t)=e^at sinbt

Yj(t)=te^al cosbt    y₄(t)=te^at sinbt

Y₅(t)=t V ¹ cosbt    y₆(t)=t²e^{a 1} si nbt

Y* i(t)=t^{k 1} e^at cosbt y_2k(t)=t^M e^at sinbt

Przvkład3