39,40 (2)

Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że P(X = X;) = — dla i=1, 2, ...,n. Zatem

n

1

EX =—V X; (można to interpretować jako średnią arytmetyczną pomiarów).

n m

Bezpośrednio z bezwzględnej zbieżności całek lub szeregów wynikają następujące własności wartości przeciętnej:

1° Va,be IR E(aX+b)=aEX+b

2° Jeżeli P(X=c)=1 to EX=c, gdzie c - stała rzeczywista

3° Jeżeli P(a<X<b)=1 to a<EX<b

4" EX<E |X|

Przykład 16. Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie:

(a)    Bernoulliego

(b)    normalnym N(m,o)

Rozwiązanie.

(a) Zgodnie ze wzorem (28) dla zmiennej losowej o rozkładzie Bernoulliego (16) mamy

EX = Żk{"),V-^k=X—

k=0    ^ '    k=l

n!

(k—l)!(n — k>!

„ k n-k __

p -q =

n

n-l

=ⁿ-pZ

\

S (k — l)!(n — k)!

= n-p(p + q)ⁿ"¹)=n-p

(b)

-foo

|    TW

EX = —== fxexp gV2ti

+

m

-f-oo

aV2n _

J^exp

(x-m)²

2o

(x -m) 2o²

dx

dx = —7= | (x - m) exp o V 271

+oo

(X - m) 2o²

dx +

avz7i

|texp

2a

dt + m= m

—co

Powyższe wyniki powinny pomóc zrozumieć sens wartości przeciętnej zmiennej losowej oraz objaśnić znaczenie parametrów pojawiających się w definicjach rozkładów prawdopodobieństwa zmiennej losowej. W badaniach statystycznych wykorzystuje się często momenty wyższych rzędów.

Def. Momentem zwykłym rzędu r e N zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej X^r, co zapisujemy

m_r=E(X^r)

Def. Momentem centralnym rzędu r e N zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną (o ile istnieje) zmiennej losowej (X-EX)^r i zapisujemy

H_r =E(X-EX)^r

Def. Moment centralny rzędu drugiego nazywamy wariancją zmiennej losowej X i oznaczamy D²X (inne oznaczenia a², o²x, Var X, jll₂)- Zatem

(29)    D²X=E(X-EX)²

Z (29) wynika, że wariancja jako średnie kwadratowe odchylenie wartości zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej mierzy rozrzut wartości zmiennej losowej X wokół EX.

Pewną wadą wariancji jest to, że jej wymiar jest kwadratem wymiaru zmiennej losowej X. Wady tej nie ma odchylenie standardowe DX (inne oznaczenia a, a_x ) określone wzorem:

(30)    DX = Vd²X

40