0149

150

II. Funkcje jednej zmiennej

wykazuje prawdziwość twierdzenia; w przedziale <a, bj istnieje takie x₀, że /(x₀)=M jest największą z wszystkich wartości /(x).

Podobnie można dowieść twierdzenia o najmniejszej wartości.

Dowód II. Można i tutaj wychodzić z lematu Bolzano-Weierstrassa [41]. Ograniczmy się do twierdzenia o największej wartości. Jeżeli

M = sup {/(*)},

to z własności kresu górnego [11] wynika, że dla dowolnego n znajdziemy takie x=x_n w przedziale <a, ó>, że

(5)    f(x_n)>M — ~.

n

Wówczas z ciągu {x_n} można wyjąć podciąg {x„_k} zbieżny do pewnej wartości x₀ z przedziału (a, b}: x_nk-*x₀, tak że na mocy ciągłości funkcji także

/WWOo)-

Jednocześnie z (5) mamy

f(xJ>M-i,

ⁿk

a po przejściu do granicy

/(x₀)>M.

Ale /(x₀) nie może być większe niż kres górny M zbioru wartości funkcji, a więc

f(x₀)=M,

czego należało dowieść.

Zauważmy, że obydwa przytoczone dowody są czystymi dowodami istnienia. Nie podano metod obliczenia na przykład wartości x=x„. W dalszym ciągu (w rozdziale IV, § 1), ale przy mocniejszych założeniach co do funkcji, nauczymy się faktycznie znajdować wartości zmiennej niezależnej, przy których funkcja ma wartości największą lub najmniejszą.

Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona przy zmianie x w przedziale to jej oscylacją w tym przedziale nazywamy różnicę

co=M — m,

Inaczej można określić oscylację co jako kres górny zbioru wszystkich możliwych różnic/ (x") —/(*'), gdzie x' i x" przyjmują niezależnie od siebie dowolne wartości w przedziale 9f:

co= sup {/(*")-/(*')}•

x\x”eX

Gdy mowa o funkcji ciągłej /(x) w przedziale domkniętym skończonym 3C=<a, bj, to z udowodnionego twierdzenia wynika, że oscylacja jest po prostu różnicą pomiędzy największą i najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.

W tym przypadku przedział wartości funkcji jest przedziałem domkniętym (m, M>, a oscylacja daje długość tego przedziału.