232 2

232

6. Równania nieliniowe

3. Niech funkcja /(*) ma czwartą pochodną ciągłą i zero pojedyncze Kole' przybliżenia x„ (n=l,2,...) tego zera oblicza się z wzoru ^₊i=ł(^₊₁+x;_+l)_s

ijne

gdzie

fM

f '(*„)’

*..+1

u U.)

u‘(x_n)

, V /W /<*)

Udowodnić, żc jeśli ciąg {*„} jest zbieżny do to ta zbieżność jest sześcienna.

4.    Wyznaczyć takie p, <y i r, żeby wykładnik zbieżności metody iteracyinej

qa ra~

*„+i =px,+—j +—

służącej do obliczania o¹'³ był jak największy. Dla wybranych tak p,q \r podać, jak błąd przybliżenia j zależy od błędu przybliżenia x„.

5.    W' przykładzie 6.5.3 użyto ekstrapolacji Aiikcna w sposób bierny do przekształcenia ciągu {*„} w {*'}. Można też zastosować ją czynnie w następujący sposób. Zaczynamy jak przedtem od obliczenia

*l = P(*o).    *2=P(*i)

i za pomocą wzoru Aitkena obliczamy x'₂. Wybieramy teraz x\ jako nową wartość początkową, tzn. obliczamy

*3=P(*2)>

Za pomocą ekstrapolacji z x\, x₃, x₄ tworzymy .r^ itd.

(a) Wykazać, żc ciąg z_m~x_2h można utworzyć z z_Q-x₀ za pomocą wzoru

V(z_m), gdzie <y(z) = z-

{r?(z)-zf

(b)    Udowodnić, że iteracja z_a+1 —tp{z_K) jest równoważna zastosowaniu metody Stef-1 cm cna do równania f(z)=0, gdzie f{z)=ę(z)-z.

(c)    Z (b) wynika, że czynna ekstrapolacja Aitkena może być skuteczna nawet wtedy, gdy pierwotna iteracja *„+1 =$>(*„) jest rozbieżna. Tą nową metodą obliczyć najmniejszy pierwiastek równania *=5ln* ż błędem mniejszym od £10"⁴, zaczynając cd x₀*l-3-

6.6. Szacowanie Wędo i osiągalna dokładność w metodach iteracyjoycb

6.6.1. Szacowanie bM^u

W poprzednim paragrafie badaliśmy zachowanie się asymptotyczne błędu przybij x„ (gdy n-+ oo) dla metody iteracyjnej =<p(x„). Wyprowadzimy teraz oszacowanie błędu po skończenie wielu iterccjich; w tym oszacowaniu weźmy pod uwagę i to, ż« ^obtl czona wartość <p(x) jest 2wykle obarczona błędem, wynikającym np. z zaokrągleń.

Niech x_t, x_it... będzie ciągiem obliczonych przybliżeń i niech wartość $»(*■) będz*^e obliczona z błędem 5_m. Wtedy

(/t=0,1,...).