3582334197

Splainy naturalne

Niech funkcja rzędu 3 w przedziale [x₀, x,] ma postać (defekt k=1, tzn ciągłość pochodnych do drugiej włącznie musi zachodzić w węzłach splajnu,):

S₃(.V) = fV',(.v) = (l_fl + a_tX + a₂X² + a₃X³ Opuszczamy indeks k we wzorze w kolejnym przedziale [x, ,xjprzedstawimy splain w następującej postaci:

S3(.r) = a₀ + a_tx + a₂x² ++ a₀ + a,(x—x_t)+a₂(x - x,)² + a₃(x—x_t)³ warunki ciągłości funkcji S³(x) w punkcie x=x,, jej pierwszej i drugiej pochodnej

S,V) = $,'(*^ł)	War. 1
d _ n d _ i
	War. 2
£^S°(x)~S,\x)	War. 3

Z war. 1 a₀=0 Z war. 2 a, = 0 z war. 3    a,=0

x e [jr,, jt₂] 5!(x) = a₀ + a,x + a₂x² + a,x³ +fl(x-x_lf

W przedziale [x„xj    /3_[ = a₃

Formalnie dla całego przedziału [x₀,xj splain można zapisać w postaci:

Sj(jr) = a₀ + rr,x + a₂x² + a,x³ +fl(x-x_l)³

0 x <x, x-x, x>x,

Postępując analogicznie dla kolejnych przedziałów otrzymujemy funkcję sklejaną postaci:

5,(x) = a₀ + a,x + a₂x² + a,x* + (x - x,)’ + /$(x - x₂)³ +.. (z - z,,., )³ gdzie:

fO    x<x,

(x-x,)_t =f    ^    1 = 1.....n

jf-x