4037602959

Rozdział 2

Interpolacja

2.1 Wstęp

Większość funkcji przechowywanych w formie numerycznej ma postać dyskretnych wartości ze zbioru dziedziny i przeciwdziedziny owej funkcji. Taka funkcja jest zwykle rezultatem przeprowadzonych pomiarów lub wynikiem metody numerycznej. Dane tego typu pokazane są na Rysunku 2.1. Często istnieje potrzeba określenia funkcji dla argumentu, którego wartość znajduje się pomiędzy dwoma wartościami z dyskretnego zbioru argumentów tej funkcji. Technikę określającą tą szukaną wartość nazywa się interpolacją (szukanie wartości funkcji poza przedziałem danych nazywamy ekstrapolacją).

Niech dana będzie funkcja f(x) : [a; b] —* M; a, b € M, która może być aproksy-mowana przez skończoną liczbę funkcji

f(^x)=ii <HSi(x).    (2.i)

i=0

Jeśli funkcja f(x) określona jest przez dyskretny zbiór danych w{xi) tak, że w(xi) = f{xi),w(x₂) = f{x₂),...,w(x_n) = /(»„),* = 0,1,.. .,n oraz spełniony jest warunek

a < x\ < x₂ < • • • < x_n < b,

to interpolacją określa się szukanie funkcji w(x) spełniającej warunek:

w(xj) = aiSi(xj),j = 0,1,..., n.    (2-2)

i=0

Zmienne X{, i = 1,2,..., n często określa się mianem węzłów. Funkcję w(x) nazywa się wielomianem interpolacyjnym; ai,i — l,2,...,n to współczynniki tego wielomianu; Si(x),i = 1,2,...,n to funkcje bazowe. Na funkcję interpolacyjną można