00098470

232 I. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

ĆWICZENIA

1.    Podać definicję funkcjonału oraz definicje minimum i maksimum funkcjonału (IŁ24J),

2.    Wypowiedzieć twierdzenia formułujące warunki konieczne dla ekstremum funkcjonał" (11.245).

3.    Zbadać ekstremum funkcjonału

/[>i -> S lysintry— lx-i-y)^,\dx

4.    Spośród wszystkich funkcji y -= y(x) klasy C¹ w przedziale <0, l> o wykresach łączących punkty .4(0; 1) i fi(l; chi) wyznaczyć tę, przy której powierzchnia powstała z obrotu jej wykresu wokół osi Ox ma najmniejsze pole.

Wskazówka. Po sprowadzeniu równania Eulera do równania różniczkowego rzędu pierwszego wprowadzić za pomocą podstawienia y' shp nową funkcję niewiadomą <p “ fW'

5.    Wiadomo, że funkcja y(x), dla której funkcjonał (11.245) osiąga ekstremum przy warunku

$ <ł>(*. y, y)dx - const    (11.275)

jest całką równania Eulera dla funkcjonału

/(>■) - \\r(x,y,y)Ą->4(.x,y.y)),ix

gdzie >■ jesl pewną slalą. Stałą A oraz stałe całkowania wyznaczamy z warunku (11.275) i warunków brzegowych: y(x,) *= y,, y(x,) — y_}.

Spośród wszystkich funkcji y — y(*) klasy C* w przedziale <• I. !> o wykresach łączących

5    . *

punkty A(—1 ;0) i B(1; 0), ptzednających dodatnią póloś Oy i posiadających długość •- arc sin ^ , wyznaczyć tę funkcję, której wykręt wraz z odcinkiem AB ogranicza obszar o największym polu.

Wskazówka. Po jednokrotnym całkowaniu równania Eulera wprowadzić za pomocą podstawienia f = tgt nową funkcję niewiadomą ( = /(*).

Odpowiedzi. 3. Maksimum na prostej y ™    4. >• —ciut.

s. **+ y+_T

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 1. PŁASZCZYZNA ZESPOLONA OTWARTA I DOMKNIĘTA

O liczbach zespolonych była już mowa w trzecim tomie tego podręcznika. Pamiętamy, że liczba zespolona jest to para uporządkowana (x, y) liczb rzeczywistych x,y, przy czym równość, dodawanie i mnotenie liczb zespolonych są określone następująco:

Def. (jc,j>) = («,o)-»(*= u) A (p«=t>)

Del. (x, y)+ (u, f) = (x-Fa, y+v)

Def. (z, y) • (u, v) = (xu-yv, xo+yu)

Liczbę zespoloną (x, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą x:

(*. 0) ■= x    (ffl.l)

Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy literą j:

(0, l) —y    on.2)

Łatwo sprawdzić, żc (0,1) - (0, 1) = (— 1, 0). Biorąc pod uwagę równość (IIL1) i (1II.2) oraz posługując się symbolem potęgi, mamy więc

f *= -' 1    (111.3)

W dalszym ciągu będziemy zazwyczaj oznaczać liczbę zespoloną Lr, y) jedną literą, np. z. Liczbę rzeczywistą x nazywamy przy tym częścią rzeczywistą, natomiast liczbę rzeczywistą y — częścią urojoną liczby zespolonej z = (x,y).

Używamy następujących oznaczeń:

x=^Rez oraz y = Im z

Symbole: Re oraz lm pochodzą od stów łacińskich realis (rzeczywisty) oraz imagi-narius (urojony).

Każdą liczbę zespoloną z — (x, y) można przedstawić w tzw. postaci kanonicznej (albo algebraicznej)

z = x+jy    (UL4)

liczby zespolone interpretujemy w znany sposób na płaszczyźnie prostokątnego, kartezjańsldego układu współrzędnych Oxy. Każdemu punktowi tej płaszczyzny P(x;y) jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba zespolona (IIT.4)