383 2

383 2



38>


8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

' 24 pomocą funkcji zależnych od skończenie wielu parametrów określa się jako me-jiitża. Wobec poprzednich uwag metoda Ritza jest często równoważna metodzie rterkina. jednak nie zawsze tak jest; zob. [101].

Zdóiwy następnie, że /=0. Wtedy, jeśli to możliwe, przestrzeń H, trzeba zbudować ^wiązań szczególnych równania różniczkowego, tzn. ma być Au=Q (Vu e//,). Dla dwuwvnłiar°wc8° równania Laplace’a rozwiązaniami szczególn>mi są części raeczy-Tsja i oroiona dowolnej funkcji analitycznej (zmiennej .t-f ły). Do aproksymacji warunków błzegdw5'cil 1T10^Da uż>'ć minimalizacji normy ||J?u—ff||, kollokacji lub metody Galerkina. W poprzednich wzorach A i / należy zmienić odpowiednio na B i g, a iloczyny skalarne powinny być całkami (lub sumami) na brzegu.

Na koniec, opisane metody można stosować i wtedy, gdy w przestrzeni H„ ani równanie różniczkowa, ani warunki brzegowe nic są spełnione, ale wiedy n musi być tak duże, teby można było przybliżyć się do rozwiązania i równania, i warunków.

W tej ogólnej postaci przedstawione wyżej pomysły' można zastosować do zadań, w których równania różniczkowe lub -warunki brzegowe są nieliniowe. Jeśli jedne z nich są liniowe, to Hm można zbudować zgodnie z powyższymi sugestiami. Układy nieliniowe hib otrzymane zagadnienia minimalizacji można badać metodami z § 6.9 lub § 10.5.

8.6.5. Metoda elementu skończonego

Metoda elementu skończonego jest metodą przybliżonego rozwiązywania zagadnień fizycznych, określonych np. za pomocą równań różniczkowych z warunkami brzegowymi lub zasad wariacyjnych. W porównaniu z innymi metodami jest ona skuteczna, gdy obszar występujący w zagadnieniu ma skomplikowany kształt lub gdy obecne tam funkcje zachowują się bardzo różnie w poszczególnych częściach obszaru. Jest to ważne narzędzie mechaniki strukturalnej, ale metoda ta ma wiele innych zastosowań; zob. Odeń [120].

Obszar wyraża się w przybliżeniu przez układ skończenie wiciu podobszarów o prostym kształcie (np. trójkątów), zwanych elementami skończonymi. Funkcje aproksymuje się skalnic na każdym elemencie za pomocą funkcji ciągłych określonych jednoznacznie Praż ich wartość i (i ewentualnie wartości niektórych ich pochodnych) w pewnych punktach, zdanych węzłami, leżących wewnątrz elementu lub na jego brzegu. Nasze ujęcie inter-,ac^ 1 Calek podwójnych (w § 7.7.3) dla obszarów dzielonych na trójkąty jest zgodne metod elementu skończonego.

Większości przypadków' metody elementu skończonego można uważać za zasto-me,0<iy Ritza lub Galerkina z ,,lokalnymifunkcjami bazowymi szczególnego ro-Jt** Aby to wyjaśnić rozważmy najpierw’ najprostszy przypadek szczególny: interpo-Pr2edziaJam' liniową jednej zmiennej (rys. 8.6.7). Elementami są tu przedziały £,= fankę"ł>    2, ..., 5). Węzłami są punkty xt (i=0, 1,...» 5). W każdym elemencie

w    linią ciągłą określa się za pomocą interpolacji liniowej przez wartości

a ^yęzłach z tego elementu. Tę funkcję można wyrazić w postaci

<8,6.


20)


Sk Ui/r



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
47529 str244 244 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO Funkcja f(x) spełnia warunki Diric
150 II. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE Na przykład funkcja f(x) •= e jest analityczna w dowolnym
str248 248 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO Całkami ogólnymi równań (10) są funkcje
(e) Równania różniczkowe cząstkowe II (1000-135RC2) (O Analiza funkcjonalna II (1000-135AF2) (g)
str206 206 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO Ponieważ(p(/) jest dowolną funkcją, zate
matma11 Równania różniczkowe cząstkowe = 2u, u = xy 2) xux + yu = — 2 u 1.Sprawdzić, czy dana funkcj
232 I. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE ĆWICZENIA 1.    Podać definicję funkcjonału
str258 258 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO § 8. ROZV gdzie D„ = A„C„. Funkcja
str260 260 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO § 8. ROZV Zgodnie ze wzorem (9) szukana
str262 262 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO Szukana funkcja u(x, t) ma zgodnie ze wz
232 II RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE ĆWICZENIA 1.    Podać definicje funkcjonale
88274 str257 8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 257 Funkcje Rn{r) i Tn(l) dobieramy
385 2 385 8.6. Równania różniczkowe cząstkowe Równania (z nieznaną funkcją u) i* (8.6.211 (8.6.22) J

więcej podobnych podstron