matma11

Równania różniczkowe cząstkowe

= 2u, u = xy 2) xu_x + yu = —

2 u

1.Sprawdzić, czy dana funkcja spełnia podane równanie: 1) xu_x + yu_y

u = ln(V* + 4y) ³)^uxx^uyy-^u2xy=°» w = ln(e^x +    ) 4)    + u _xy = 0, w = (2x - y)³ + e³' 5)2 yu_x=u_y,

u - f(x + y²) 6)yu_x-xu_y -x + y, f(x² + y² ,x-y-u)~0 l)yu_x+uu_y = y, F(x-u,y² - u²)- 0 8)4xu_x + *Jyu_y + afzu₂ = 0, u -f{Jx -*[y,4x-    ) 9)xu_x + yu_y = u, y² =x² + u²

Wykorzystać: wyznaczamy pochodne cząstkowe funkcji u i wstawiamy je do danego równania. Do przykładu 5: jeżeli np. u = F(2x + 3y), to u_x = F'(2x + 3y)* 2, u_y= F'(2x + 3y)-3 czyli krócej zapisując u_x = F'-2, u_y - F¹-3

(ogólnie jeżeli u = F(f(x,y)), to u_x = F'(f(x,y))-f_x(x,y)₉ u_y = F'(f(x,y))- f_y(x,y) czyli krócej zapisując u_x = F’*/_x,    = F'-/_y). Do przykładów 6,7: jeżeli np. F(2x + u,2u - 3y + 4x) = 0, to

F_x(2x + u,2u-3y + 4x)-(2 + u_x)+ F_y(2x + u,2u-3y + 4x)-(2u_x +4)=0 (krócej F_x -(2 + u_x)+ F_y •(2u_x + 4)=0) oraz F_c(2x + w,2w-3y+ 4x)-w_y + F_y(2x + u,2u-3y + 4x)-(2u_y-3)=0 (wskrócie F^-u_y + F_y '{2u_y-3)= 0)-z tych równań wyznaczamy u_x,u_y i wstawiamy do danego równania (ogólnie jeżeli F(f(x,y,u\g(x,y,u)) = 0, to F_x>f_x+F_y-g_x= 0 i F_x-f_y+F_y-g_y =0). Do przykładu 8: jeżeli w = F(f(x,y,z\g(x,y,z)), to Uk^F,;' f_x+F_y*g_x, u_y=F_x- f_y+F_y*g_y,u_z=F_x-f_z+F_y-g_z. Do przykładu 9: obie strony równości y² -x² + u² różniczkujemy po x oraz po y, potem z otrzymanych równości wyznaczamy u_x, u_y i wstawiamy do równania xu_x + yu_y = u.

2. Rozwiązać: 1)u_x - 3x + 2y 2)    = 4x + Sy 3)u_xx-u_x+y = 0 4)u_y - u + 3x + 2y 5)u_yy + u_y = 2x

6)u_xy=3xyz² 7)u„ =3x² +2y 8)u_xy = ~u_y

Wykorzystać: te równania rozwiązujemy jak równania zwyczajne pamiętając o tym, że tutaj stałą jest zawsze funkcja zależna od wszystkich występujących w równaniu zmiennych oprócz tej, względem której w danym

momencie całkujemy. Np. równanie u_y=3x + 2y rozwiązujemy następująco: Ju_ydy = J(3x + 2y)dy czyli

u = 3xy + y² + C(x), gdzie C(x) jest dowolną funkcją zmiennej x (to jest ta nasza stała). W przykładzie 6 u = u(x,y,z), w pozostałych u jest zależna od zmiennych x, y. W przykładzie 3 najpierw całkujemy obie strony po x, potem rozwiązujemy równanie jednorodne (u_x- u = 0) i dalej niejednorodne metodą uzmienniania stałej (tutaj będzie nią dowolna funkcja zmiennej y). Podobnie rozwiązujemy przykłady 4 i 5.

3. Rozwiązać: 1 )u_xy +2yu_x =4xy, u(x,0) = x² + e^x*, u(0,y) = e~^y2 -y² 2)u_xy +4x³u_y =8x³y,

w(x,0) = x²(l + £T* ), u(0,y) = 2y² 3)yu_yy+u_y=0, «(x,l)=x², w(0,y) = siny 4)u_yy=u_y+x, w(x,0) = sinx, w (x,0)~e^x 5)u_xy + u_xtgy - 2xtgy, w(x,0) = x²+F, w(0,y)=y²+cosy

Wykorzystać: rozwiązujemy jak w zadaniu 1, a następnie wykorzystujemy podane warunki aby wyznaczyć stale.

4. Wyznaczyć równania różniczkowe charakterystyk podanych równań: 1) 2yu_x = w_y 2)    = xy

3) 3x3^ + u²u_y -1 4) xyu_x + yzu_y + zyu₂ - z 5) (l - x² \i_x + (l + y² )u_y - (x² - y² )u

Wykorzystać: równania charakterystyk wyglądają następująco: dla f(x,y)u_x + g(x,y)u = 0 jest to

dx

dy

g(x,y)

, dla    f(x,y,z)u_x + g(x,y,z)u + h(x,y,z)u₂ = 0 jest to

dx

dy

dz

f(x,y,u)u_x + g(x,y,u)u = h(x,y,u) jest to

dx

dy

f(x,y,u) g{x,y,u) h(x,y,u)

f(x,y,z) g(x,y,z) h(x,y,z)

du . , ltd.

dla

3