385 2

385

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

Równania (z nieznaną funkcją u)

i*

(8.6.211 (8.6.22)

J K(x.y)u(y)dy=f(x),

a

k

«(*)- J K(x, y)u(y)dy=f(x)

4

_na/vwa się liniowymi równaniami całkowymi Fredholma. odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju. Funkcję K nazywa się jądrem. Matematyczną teorię tych równań opisują Courant i Hilbert [3].

Naturalnym sposobem rozwiązywania takich równań jest całkowanie numeryczne j koltokacia. Jeśli funkcje są okresowe i mają okres b-a. to dobrą dokładność daje wzór trapezów. W przypadku nicokresowym dla równań drugiego rodzaju dobre wyniki daje wzór trapezów z ekstrapolacją Richardsona. Zaleca się też kwadratury Gaussa. W każdym przypadku dla równania (8.6.21) otrzymujemy układ liniowy

n

(8.6.23)    Y.K(XfydAjUj~f(x_t) (i=ł, 2, .... m),

j-1

gdrie Aj są wapółczynnikami kwadratury (z m^n). Dla równania (8.6.22) otrzymujemy układ

(8.6.24)    X K(x_i,yj)AjUj=f(x_l) (i* 1,2, ..., m). i-1

Dla równań pierwszego rodzaju o gładkim jądrze kolumny macierzy układu (8.6.23) będą zapewne w przybliżeniu zależne liniow^ro. Jest zatem celowe przyjąć, żc rząd macierzy jest równy r i użyć pojęcia rozwiązania średniokwadraiowego z minimalną normą (§ 5.7.2). Rząd można w przybliżeniu wyznaczyć jako liczbę kolumn, dla których elementy główne w zmodyfikowanym procesie Grama-Schmidta przewyższają poziom błędów zaokrągleń. Można też wykorzystać rozkład według wartości osobliwych (§ 5.2.5), zastąpić zerami te ?, nich, które są bardzo małe i obliczyć macierz pseud ©odwrotną.

Równania drugiego rodzaju są zwykle mniej kłopotliwe. Kiiustrujc to prosty przykład.

Przykład 6.6.4. Rozważmy „bardzo gładkie" jądro K(x,y)=k i niech będzie a = 0. Równanie pierwszego rodzaju ma postać

i

k \ u (y)dy =f(x). o

To równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy funkcja/jest stała, np. równa c. Wtedy ^Ioitotą2:.aniem jest każda funkcja u, dla której f u(y) dy~cjk. Równanie drugiego ro-^^ZajU można rozwiązać lak:

u(x)-k\u(y)dy=f{x),

o

u(x)~f(x)+kc,

_ncmcrycitłie