str232

232 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

(5.6)

Definicja 6. Potencjałem opóźnionym ładunku przestrzennego nazywamy funkcję

U (A

•'-I'

dV,

gdzie A(x,y, z) są punktami obszaru Q, rj, Q są punktami obszaru V, r = \AB\, q(B, t) jest funkcją ciągłą określoną w obszarze V i nosi nazwę gęstości przestrzennej ładunku. Obszary Q i V nie mają części wspólnej.

Definicja 7. Potencjałem opóźnionym ładunku liniowego nazywamy funkcję

(5.7)

U (A

-I

dl,

gdzie A(x, y, z) są punktami obszaru Q, B(r\, Q są punktami położonymi na łuku L, przy czym łuk L nie należy do obszaru Q.

Własność 2. Każda kombinacja liniowa potencjałów (5.4), (5.5), (5.6) i (5.7) spełnia równanie falowe (5.1) w obszarze przestrzennym C2.

Definicja 8. Warunkami granicznymi dla funkcji u(A, t) spełniającej równanie falowe w obszarze przestrzennym Q nazywamy zespół warunków początkowych i brzegowych, np.: a) warunki początkowe Cauchy’ego

(5.8)

HA, 0) = cp(A), _o = *HA)

dla A e Q;

b) warunek brzegowy

(5.9)

t*(B, I)= f(B, t)

dla Be S, gdzie S jest ograniczeniem obszaru Q, a <p, ij/ i / są z góry danymi funkcjami.

Warunek brzegowy (5.9) jest warunkiem I rodzaju. Zamiast relacji (5.9) może występować warunek II rodzaju

(5.10)

lub warunek III rodzaju

(5.11)

9(B,t)

lub

(5.13)

Definicja 10. Równania

(5.14)

d²u

1?

Równania (5.12), (5.13) i (! Własność 3. Rozwiązani

(5.15)

spełniającym następujące wa, (5.16) u(x,y, z,

jest funkcja

(5.17) u(x,y, z, f) = ^ J

gdzie £ = je + c/sin0cos<p, rj Zależność (5.17) jest jed

Własność 4. Rozwiązani

(5.18)

jest funkcja

(9.

+ a(B, t)u(B, t) = P(B, t),

gdzie g, a i /? są danymi funkcjami.

Definicja 9. Równaniem falowym na płaszczyźnie lub równaniem membrany nazywamy równanie o następującej postaci:

(5.12)

d²u 8²u 1 d²u

dx² dy² C² dt²

(5.19)

0 I

Wzór (5.19) nazywa się