s20 21

20

Obliczyć granice jednostronne funkcji / we wskazanym punkcie xq
7./(*) = x0 = 3 X ó	8. f(x) = —, x0 — 0 FI
	X
9. f(x) - ^ _ j| > aro - 1	10./(x) = e^X + ^ , xq = — 1

7. Zauważmy, że licznik dąży do 4 gdy x —» 3. W lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀ = 3, funkcja y — x - 3 jest ujemna, wobec tego mamy

Podobnie,

lim

37 — 3“

X + 1

x — 3

-00.

lim

37 — 3+ x

x + 1

00,

gdyż funkcja y = x — 3 jest dodatnia w prawostronnym sąsiedztwie punktu xq — 3.

8. Korzystając z definicji

{x    gdy x > O,

-x    gdy x < O,

mamy

00

00

lim T—r = lim -

37 — 0- |x|    37—0--X

lim t—t = lim -

3- — 0+ \X\    3' —o+ x

9. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej

x — 1 -(*- 1)

lar - II -

gdy x > 1, gdy x < 1,

mamy

,!!?- X* - 1 - Z-,- X* - 1

-(x - 1)

I¹ - ‘I = lim    ₌ lim

lim ,    , - ..... „    ,

3—1+ X¹ — l    37 — 1+    — 1

37-1- (i - l)(x -I- 1)

X — 1

= lim

-1

-1+ (.T - 1)(* + 1)

>7-i- x + 1

lim -i-

<■-1' x ł- 1

10. hinkcja y = x + 1 jest ujemna w lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀ i dodatnia w prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Stąd mamy

= OG

lim e'

'_-i+

= O,

gdyż

lim

x —* — 1 ~ X + 1

= 00

lim -

r—-1+ X + 1

Korzystając z definicji pokazać, że: x — 1    1

2

I. lim

3. lim

— i X¹ — 1

x

²-4

= 4

-2 X — 2 (>1 iliczyć granice funkcji: 10 + x

5. lim

7. lim

x - 1

x² — 6x 4- 5

2. lim (1 + x²) = 1

x—o

4. lim

-1

'•—2 (x + 2)^A

= —00

0. lim

• i \ 1 — x³ II. lim sin(2x)ctgx

■r —* n

-² —9

x- 1

6. lim

Jl—* -

8. lim

X — 2

10. lim

X — O

12. lim

x² — 9

KI. lim

x

Ili. lim

r^<]

17. lim

r —»r III. lim

i ■(

21. lim

¹ -3 \Jx + 1 — 2 sin £

14. lim

--3 x + 3

x³ - 8 2 X² — 4 1 - 3^2j'

“-o 3^J' - 1

sin x — cos x *—f    cos2x

2 sin 5x

o 3x

<i 4x tg 4x ć 8x sin 3x i) sin 6x I — cos 2x 5x²

/sin3x

16. lim W--1- 1

x—o V x

18. Iinrxctg2x 20. lim sin(3x)ctg(5x)

22. lim

sin 2x

x—o v/3x+ 1 - 1

aa. lim

3 - \/9 — x

-o sinox

24. lim (1 - x)tg-x