analiza egz

Egzamin Analiza Matematyczna I, 16.06.2011

1.    Liczby w nawiasach oznaczają maksymalną liczb punktów za dane zadanie.

2.    Za egzamin można dostać maksymalnie 100 punktów.

3.    Proszę wyłączyć telefony komórkowe i inne urządzenia elektroniczne.

4.    Każde zadanie musi być rozwiązane na osobnej kartce.

^U-Zadanie 1. Dana jest funkcja

f(x) =

x(x + 1)

1

Dla tej funkcji:

a)    (1) Znaleźć dziedzinę. >

b)    (1) Znaleźć miejsca zerowe. O _A ^

c)    (12) Wyznaczyć asymptoty (pionowy ukośne, poziome

d)    (5) Obliczyć pierwszą pochodną

e)    (8) Wyznaczyć ekstrema, b    4-u

f) (3) Naszkicować wykres.

posiada)).

Zadanie 2.    i n    r

a) (10) Rozwinąć w szereg Taylora w xq = 0 funkcję f rnft-M

m

i

(5 - a;)²

} ■/-

1

b)    (5) Policzyć promień zbieżności znalezionego szeregu. > brp')

c)    (10) Korzystając ze znalezionego rozwinięcia obliczyć

E

(n + l)2ⁿ

5ⁿ

lOyAZadanie 3. (10) Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrócenie wykresu funkcji (e^si‘^

f(x) — c^2sina y/cosx. x e [0, —]

/okół osi OX.

Zadanie 4. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych:

2ⁿ

wwEj ^OŁ'

* A

n= 1

(b) (8) £

sin n + cos n

71=1

(OiK Zadanie 5. (10) Obliczyć całkę:    T

'    i y    /• o /    •    2    \

^-S>o^sx-^v .    / 3(sm x)cosx

sima; + 1

- v;«? «    -    ¹    “    ^dx'

\0jiK Zadanie 6. (10) Narysować obszar ograniczony parabolą y = x² + 2x i prostą y — 3x + 2 i obliczyć jeąo pole.