Image0001 (17)

22.06.2009

Egzamin z matematyki, 1 rok, ZIP (semestr letni)

.n

Zadanie 1. Obliczyć Jcos(lnx)ć/x.

1

Zadanie 2. Zbadać (nie obliczając!) zbieżność całki J"

2 + cos x

dx.

i c*-i)

Zadanie 3. Zbadać

" 1

i zbieżność szeregu / ,—j=p

a/ n

Zadanie 4. Obliczyć

sin(x² + y²)

(x,y)-^(0,0) ,/x² + y²

Zadanie 5. Niech

f(x,y) :=<

2 2

x + y

4-x²-y² -2

a,

gdy (x, y) * (0,0), gdy (x,y) = (0,0).

Dla jakiej wartości a e R funkcja / jest ciągła w punkcie (0,0)?

Zadanie 6. Zbadać różniczkowalność funkcji

1

2 2 x +y

e "    ' , gdy (x,y) ^ (0,0), w punkcie (0,0).

0,    gdy (x, y) = (0,0)

Zadanie 7. Znaleźć punkt, w którym gradient funkcji z = ln

,v² + 1

y

jest równy i+j.

j 2

Zadanie 8. Obliczyć pochodną funkcji z = x^y w punkcie (c“,l) w kierunku wektora AB łączącego punkty zl(l,—l)i B(3,-2).

Zadanie 9. Obliczyć pole figur}' płaskiej ograniczonej krzywymi o równaniach y = 2x²,y = x + \,y = -x + \.

Zadanie 10. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z = x^J -f y' + 9.vy.

Powodzenia 16.09.2009

Egzamin poprawkowy z matematyki ZIP (san estr letni)

•A

Zadanie 1. Obliczyć całkę J24jc² cos² x dx.

o

Zadanie 2. Obliczyć długość łuku krzywej y = ^x — x² + arcsin Vx.

co

Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregu liczbowego

1

. _n-₂ n\nn

Zadanie 4. Obliczyć

l-cos⁴(x² + y^z)

2x2

(x,y)->(0,0)    (x +y )

n    o    o

Zadanie 5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f{x,y) = x + y —3xy .

Zadanie 6. Zbadać ciągłość funkcji f \R² R w punkcie (0,0)

2

(*o0*(0,0)

o

(x, 7) = (0,0)

Zadanie 7. Obliczyć pole obszam ograniczonego krzywymi y = x(x-l)(x-2),    7 = 2x(x - l)(x - 2) -

Zadanie 8. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = X³ - 3xy² + y w punkcie (0,1) w kiemnku wektora AB, A = (0,0), B = (1,1).

Zadanie 9. Wyznaczyć (o ilę istnieją) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji /(x, y) = J

w punkcie (0,0).

Zadanie 10. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

f(x,y) = 3x²-2xy w zbiorze D = |(x,jp) e R² : x > 0, x < y < Vx}

Czas pisania 130 min

Powodzenia