1306504514�F20110521000

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (18.06.09)

IMiR, rok 1A

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Co nazywamy wyznacznikiem macierzy kwadratowej? Podaj przykład macierzy osobliwej stopnia 3 bez elementów zerowych.

Oblicz wyznacznik macierzy

3	-3	3	-4
-7	11	1	9
-4	10	7	4
6	-11	-3	-7

Zadanie 2. Podaj warunek prostopadłości dwóch prostych w przestrzeni i przykład takich prostych.

Wyznacz równanie kierunkowe prostej równoległej do płaszczyzn ixi : 3x-y + Az-2 = 0 i 7T2 : 2x + y — z = 0, przechodzącej przez punkt (2, —1,4).

Zadanie 3. Podaj definicję różniczkowalności funkcji w punkcie oraz różniczki funkcji w punkcie.

Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość wyrażenia

ln(0, 9) cos(0,02)’

Zadanie 4. Co to jest przekształcenie biegunowe? Podaj współrzędne biegunowe punktu ( —1,\/3).

Oblicz pole powierzchni płata z = x + y nad obszarem ograniczonym krzywymi x + y = 1 oraz x² + y² = 1.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (17.09.09)

IMiR, rok 1A

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Co nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej? Podaj twierdzenie o odwracaniu iloczynu macierzy.

Odwróć macierz

CO 1	1 to	5
2	co	-7
0	1	-2

Zadanie 2. Podaj wzory na rzut prostopadły punktu na prostą i na płaszczyznę w przestrzeni R³.

Wyznacz odległość punktu (5,—1,2) od prostej przechodzącej przez punkty A = (4,0, —3) i B = (—2,1,1).

Zadanie 3. Podaj przykład obszaru normalnego jednocześnie względem obu osi układu współrzędnych i obszaru, który nie jest normalny względem żadnej z osi. Oblicz pole powierzchni płata z = x² + y² nad obszarem ograniczonym krzywymi y — x,y — —x, y = Vl — x² i y = \/4 — x².

Zadanie 4. Podaj postać równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego i przykład równania rzędu drugiego, które nie jest liniowe.

Rozwiąż problem Cauchy’ego y" + 2y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) — —2.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (24.09.09)

IMiR, rok 1A

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Co nazywamy argumentem liczby zespolonej? Podaj wzór de Moivre’a. Oblicz (\/3 — i)¹³.

Zadanie 2. Podaj przykłady niezerowego wektora równoległego i wektora prostopadłego do wektora (1,2,3). Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach A = (0,0,0),B = (-6,4,0), C = (-6,9,3), D = (5, -7,2).

Zadanie 3. Podaj definicję metryki w przestrzeni Rⁿ i wzór na metrykę euklide-sową.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji /(x,y,z) = x + y + z +    _p I.

Zadanie 4. Podaj twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych oraz definicję całki krzywoliniowej płaskiej skierowanej.