egzamin 05 termin B IIsemetr

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK IC i ID EGZAMIN Z MATEMATYKI TERMIN B

KRAKÓW 08.06 . 2005

1    . a) Podaj twierdzenie dotyczące rozwiązalności układu równań liniowych.

b) Zbadaj rozwiązalność podanego układu równań liniowych i podaj postać jego rozwiązania:    x + 4z - 0

2x + y i- lOz = 0 6x~ 3y + 30z - 0 5x - y + 22z = 0

2    a) Jak określamy kąt pomiędzy prostą ( podaj jej równania parametryczne) a płaszczyzną

{podaj jej równanie ogólne) ? Podaj warunki na to , aby prosta i płaszczyzna były ar) równoległe &) prostopadłe . b) Napisz równanie płaszczyzny , w której leżą proste l_} i l₂ .

li—— = — =    oraz !₂: x = 7 - 6t , y = 29t , z - -!2t.

4-6    8

3    a) Podaj definicję pochodnej cząstkowej /_r(r₀jj) funkcji r = f(x,y) w punkcie

- wraz z interpretacją geometryczną

b) Wyznacz grad/ jeśli f(x,y,z) = ijarcctg(*r+ «?'*■’),

4 . a) Co to znaczy, że funkcja z -= f(xj,x₂ xJ ma minimum w punkcie    i,x°z—_tx°J?

b) Wyznacz ekstrema funkcji: Jfay.z) - jc-2x-y³+3y±5£².

5    a) Podaj definicję całki podwójnej funkcji z - f(x.y) po prostokącie P :

P- {(x,y):a<x<b,cźyzd}.

b) Oblicz całkę : jj*^z(y~ x)dxdy , gdzie obszar D ograniczony jest Uniami

7l/^_vVO i

o równaniach : y = x² oraz x = y^l.

6 . a) Podaj dwa zastosowania geometryczne całki podwójnej

b) Za pomocą całki podwójnej oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyznami o równaniach . z-x —6y = Q,z-0_%y = 5x_ty = x_tx- l.

7£Ta) Podaj interpretację geometryczną całki krzywoliniowej nieskierowanej.

b) Oblicz całkę krzywoliniową nieskierowaną : J(4V* -3*fy)il, gdzie L jest odcinkiem

l

prostej łączącej punkty A(-1,Q) i B(0,l).

7D a) Podaj wzór postaci trygonometrycznej liczby zespolonej „z” wyjaśniając występujące w nim symbole Jak wykonujemy mnożenie i dzielenie liczb zespolonych jeśli podane są one w postaci trygonometrycznej ? Podaj odpowiednie wzory . b) W zbiorze liczb zespolonych C rozwiąż równanie;

z² - (3 - 2i)z + (5 -5/) = 0