2004 terminB

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK I D EGZAMIN Z MATEMATYKI TERMIN B

KRAKÓW 4.02.2004

1 . a) Podaj definicje Cauchy’ego i Heinego granicy:    - ⁰⁰

b) Oblicz (bez stosowania tw.de 1’Hospitala) granicę

. I X . ₂

sin —sin 2x

lim—^-

*-*o ix

2    . a) Podaj i udowodnij twierdzenie o związku ciągłości funkcji y -f(x) w punkcie

z posiadaniem przez nią pochodnej w tym punkcie Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe ?

£

b) Oblicz pochodną funkcji: y = arctg\4x — 1 + x *

3    a) Podaj twierdzenie Darboux.

b) Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnij, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

4    . a) Podaj twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji.

b) Wyznacz przedziały monotoruęznośęi i_ekstrema funkcji    ~    . -

X' -X

6 . a) Podaj twierdzenie o wartości średniej dla całek.

5 . a) Podaj definicję ułamka prostego I-go rodzaju i opisz sposób jego całkowania, b) Oblicz całkę :    ¹ ,......dx.

^J Y² — Y

b) Oblicz całkę oznaczoną ; I

i#-*)⁴

7 a) Jak należy postąpić, gdy w całce oznaczonej wewnątrz przedziału całkowania znajduje się punkt osobliwy funkcji podcałkowej? Co to jest punkt osobliwy ?

24

b) Zbadaj zbieżność całki; J —, a>0 .

8 , Znajdź długość łuku krzywej y = z²* dla x&Ś0; 0,25^