mat

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK IC i ID -EGZAMIN PO-HAWKOWY Z MATEMATYKI' TERMIN I

KRAKÓW 27. C6 .2005

! .a) Podaj definicję wyznacznika macierzy A (uwzględnij wymiar macierzy }. Podaj trzy wGsoości wyznaczników . bjKorzysrąiąc z własności wy znaczników oblicz wyznacznik macierzy⁷:

'l 0 0 0 5]

/

0 2 0 4 O,

j j j j

KH

0 4 0 2 0 .

_5 "0 0 0 ij

2a) Podaj definicję iloczynu wektorowego wektorów u i v . oraz interpretację jego długości Posługując się tą interpretacją wyprowadź wzór na odległość punktu P,j(”c..Y:;.r.-} cd prostej w przestrzeni R^J.

b) Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych

i przez punkt przecięcia prostych : /.:

x - i

• = - eraz/.:

■3'    -    1

-t W 1 V -r 11    ; - r

3 a ) W przestrzeni R" określona jest funkcja r ~f(x.y) , dany jest punki P.(x.- ,yi) oraz

wektor ,v[i7,ój . Podaj definicję pochodnej kierunkowej zadanej funkcji w punkcie ?a w kierunku podanego wektora.    .    ___

b; Oblicz pochcdną-rar.kąii. :/ =;;v rf - .ryz w punkcie M( 1,1.2). w kierunku

■    /    ’*    -TT —

^J tworzącym z osiami układu współrzędnych kąty odpowiednio : -jK—.

3 4 3

4    ¹ a) Co to jest forma kwadratowa? Co tc znaczy, że ferma kwadratowa jest dodatnio

określona w zbiorze X '    _. yzrr

b) Zbadaj istnienie ekstremów funkcji: u = x* -y - z' - 2x - óyz.

5    a) Co to jest gradient funkcji r    :-'y.nnzrzni_.zzzz:n

Podaj wzór i zastosowanie różniczki zupełnej I-go rzędu., b) Korzystając z różniczki funkcji obiicz przybliżoną wartość wyrażenia:

V . {io2f-⁹0Ji. '■ K CtSi

. - -    -A ,;r•_,Cćt-.._ _ _

6    a) Zdefiniuj obszar normalny Do* względem osi Ort podaj twierć^teyKKK

'    o zamianie całki podwójnej funkcji _ z =-j(x,y) po ty m ccszaize^: naitererwaną

b) Oblicz całkę oęćwćjna || KirA’ po obszarze D oaradczcnymfpah

oraz prostymi x - 0 i y ~ l\

7 a) Podaj twierdzenie o zmianie zmiennych w całce podwójnej, b) Obiicz całkę podwójna:    ^/r'"