2007 arkusz02 02 2007

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK IE i IF EGZAMIN Z MATEMATYKI KRAKÓW 2 LUTY 2007

l.^JPodaj definicję ciągłości funkcji >• =f(x) w punkcie x₀ i zbadaj ciągłość

funkcji y = e^x 2 w punkcie x₀=2.

Oblicz granicę: lim-•    *-»o'

sin3x

^z-*°3—‘j2x + 9 '

2. a) Podaj i naszkicuj interpretację geometryczną pochodnej /'(x₀).

Opisz i naszkicuj dwa przypadki funkcji y =f(x), która jest ciągła w punkcie Xo. ale nie ma w tym punkcie pochodnej ( dwie różne przyczyny!).

b) Oblicz pochodną funkcji: y = e'

2fi

2x + l    2x-1

arctg -■■==—\-arctg

fi

fi

3. a)Co to znaczy, że funkcja y =f(x) ma w punkcie x = xo minimum lokalne ?

Podaj warunek wystarczający istnienia minimum funkcji y =f(x) ma w punkcie x b)Znajdź przedziały monotoniczności, ekstrema, przedziały wypukłości i punkty

przegięcia funkcji y = ———.

\Jx² -1

4. a)Podaj definicję asymptoty ukośnej funkcji y = f(x) w co. Wyprowadź wzory

na współczynniki tej prostej.

x

b) Znajdź asymptoty funkcji : y = .    i narysuj jej wykres.

V*²-1

b) Oblicz całkę:    J

łk

b) Oblicz całkę:    J

,    dx.

smx(l + cosx)

b

6.a) Podaj definicję całki oznaczonej: J f(x)dx.

x²dx fi-x²

5. a) Podaj wzory rekurencyjne : j sin" xdx i J cos" xcbc i wyprowadź jeden z nich. 2 + sinx

7.a) Podaj definicję całki niewłaściwej: J f{x)dx. Co to znaczy, że jest ona rozbieżna ?

b) Zbadaj zbieżność całki: f ^^r<~ dx